NC18979 毒瘤xor

题目

题目描述

小a有 $N$ 个数 $a_1, a_2, ..., a_N$ ，给出 $q$ 个询问，每次询问给出区间 $[L, R]$ ，现在请你找到一个数 $X$ ，使得

1. $0 \leq X < 2^{31}$
2. $\sum_{i = L}^R X \oplus a[i]$ 最大，$\oplus$ 表示异或操作(不懂的请自行百度)

输入描述

第一行一个整数 $N$ ，表示序列的长度
第二行 $N$ 个整数，表示序列内的元素
第三行一个整数 $q$ ，表示询问的个数
接下来 $q$ 行，每行两个整数 $[L, R]$ ，表示询问的区间

输出描述

输出 $q$ 行，每行一个整数表示答案

若有多组可行解，请输出较小的解

示例1

输入

5 
4 78 12 1 3
3
2 5
1 4
3 3

输出

2147483632
2147483635
2147483635

备注

对于 $30\%$的数据，$n , q ≤ 10$
对于 $60\%$ 的数据，$n , q ≤ 1000$

对于 $100\%$ 的数据，$n, q ≤ 10^5$
保证 $a_i < 2^{31}$

题解

知识点：贪心，位运算。

显然不能每次枚举，需要更快的贪心方法构造一个 $X$ 。

对于位运算的贪心，只需要让每位到达最优就行，因为互相独立。因此，本题只要对于 $X$ 的每一位产生的和最大即可。

考察所有 $a_i$ 某一位，要让这位异或和最大，就要考虑这位的 $1$ 和 $0$ 的数量，如果 $1$ 多，则 $X$ 这位应为 $0$ ，否则为 $1$ 。这里可以用二维数组 $sum[i][j]$ 代表 $[1,i]$ 的数字中第 $j$ 位是 $1$ 的数量，前缀和预处理即可。

但要注意的是，我们要求最小的 $X$ ，因此在两者皆可时 $0$ 更优，即 $1$ 的数量为严格小于一半时就用 $1$。这里不能用 sum[r][i] - sum[l - 1][i] < (r - l + 1)/2 ，因为这是取下整，要取上整。

时间复杂度 $O(n+q)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int a[100007], sum[100007][31];
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 0;j < 31;j++) {
            if (a[i] & (1 << j)) sum[i][j]++;
            sum[i][j] += sum[i - 1][j];
        }
    }
    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        long long l, r;
        cin >> l >> r;
        int x = 0;
        for (int i = 0;i < 31;i++) {
            if (2 * (sum[r][i] - sum[l - 1][i]) < r - l + 1) x |= (1 << i);///这里要除的话取上整
        }
        cout << x << '\n';
    }
    return 0;
}