NC13328 倒水

题目

题目描述

有一个大水缸，里面水的温度为 $T$ 单位，体积为 $C$ 升。另有 $n$ 杯水（假设每个杯子的容量是无限的），每杯水的温度为 $t[i]$ 单位，体积为 $c[i]$ 升。

现在要把大水缸的水倒入 $n$ 杯水中，使得 $n$ 杯水的温度相同，请问这可能吗？并求出可行的最高温度，保留 $4$ 位小数。

注意:一杯温度为 $t_1$ 单位、体积为 $c_1$ 升的水与另一杯温度为 $t_2$ 单位、体积为 $c_2$升的水混合后，温度变为 $\frac {t_1c_1+t_2c_2}{c_1+c_2}$ ，体积变为 $c_1+c_2$。

输入描述

第一行一个整数 $n$ , $1 ≤ n ≤ 10^5$
第二行两个整数 $T,C$ , 其中 $0 ≤ T ≤ 10^4, 0 ≤ C ≤ 10^9$
接下来 $n$ 行每行两个整数 $t[i],c[i]$
$0 < t[i], c[i] ≤ 10^4$

输出描述

如果非法，输出“Impossible”（不带引号)否则第一行输出“Possible"（不带引号），第二行输出一个保留 $4$ 位小数的实数表示答案。

样例解释：往第二杯水中倒 $0.5$ 升水
往第三杯水中到 $1$ 升水
三杯水的温度都变成了 $20$

示例1

输入

3
10 2
20 1
25 1
30 1

输出

Possible
20.0000

题解

知识点：贪心，数学。

要使温度都相同，假设所有体积 $C$ 液体都用上，则有如下等式

$$\frac {t_1c_1+Tc_1'}{c_1+c_1'} = \cdots = \frac {t_nc_n+Tc_n'}{c_n+c_n'} = Ans = \frac {\sum_{i=1}^n t_ic_i + TC}{\sum_{i=1}^n c_i+C}$$

现在分三种情况：

1. $ans \leq \underset{1 \leq i \leq n}{min} \{t_i\}$ ，因为答案要取大的，根据函数连续性，至少一个点使得 $ans = \underset{1 \leq i \leq n}{min} \{t_i\}$ ，因此温度最小值即是答案。
2. $ans \geq \underset{1 \leq i \leq n}{max} \{t_i\}$ ，此时 $ans$ 可以直接作为答案。
3. $\underset{1 \leq i \leq n}{min} \{t_i\} < ans < \underset{1 \leq i \leq n}{max} \{t_i\}$ ，这种情况不可能。因为温度调整是趋向于 $T$ 和 $t_i$ 之间的但不能达到两端点，如果要使两侧温度向中间靠拢，则必然 $\underset{1 \leq i \leq n}{min} \{t_i\} < T < \underset{1 \leq i \leq n}{max} \{t_i\}$ ，若 $T = ans$ ，则 $T$ 作为控温端点是无法达到的，即 $ans$ 无法达到；若 $T\neq ans$ ，则必然有一部分 $t_i$ 要跨越 $T$ ，这也是不可能的。

时间复杂度 $O(n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    double T, C;
    cin >> T >> C;
    double maxt = 0, mint = 1e5;
    double sum1 = T * C, sum2 = C;///等比定理
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        double t, c;
        cin >> t >> c;
        maxt = max(maxt, t);
        mint = min(mint, t);
        sum1 += t * c;
        sum2 += c;
    }
    double ans = sum1 / sum2;
    if (ans <= mint) cout << "Possible\n" << fixed << setprecision(4) << mint << '\n';
    else if (ans >= maxt) cout << "Possible\n" << fixed << setprecision(4) << ans << '\n';
    else cout << "Impossible\n";
    return 0;
}