NC202492 仓库选址

题目

题目描述

牛能在某小城有了固定的需求，为了节省送货的费用，他决定在小城里建一个仓库，但是他不知道选在哪里，可以使得花费最小。

给出一个 $m \times n$ 的矩阵，代表下一年小城里各个位置对货物的需求次数。我们定义花费为货车载货运输的距离，货车只能沿着水平或竖直方向行驶。

输入描述

首先在一行中输入$T, T \le 10$，代表测试数据的组数。
每组输入在第一行给出两个正整数 $n,m , 1 \le n,m \le 100$ ，分别代表矩阵的宽和高。
接下来 $m$ 行，每行 $n$ 个不超过 $1000$ 的数字，代表矩阵里的元素。

输出描述

每组输入在一行中输出答案。

示例1

输入

3
2 2
1 1
1 0
4 4
0 8 2 0
1 4 5 0
0 1 0 1
3 9 2 0
6 7
0 0 0 0 0 0
0 1 0 3 0 1
2 9 1 2 1 2
8 7 1 3 4 3
1 0 2 2 7 7
0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0

输出

2
55
162

备注

送货时只能单次运输，若该位置需要 $3$ 次，货车必须跑 $3$ 次。
即使该位置需要被送货，我们仍然可以选择该位置作为仓库。

题解

知识点：前缀和，枚举。

因为送货按曼哈顿距离(垂直水平的距离)计算费用，故考虑可以将行 $x$ 和列 $y$ 坐标分开确定。

设费用 $P_x$ 代表以 $x$ 为行的选址在x方向上消耗的费用，$a[i][j]$ 为某仓库需求次数，$s[i][j]$ 为 $[1,1] \times [i,j]$区域需求总数。

考虑递推式 $P_{x+1} - P_x = \sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^n a[i][j] - \sum_{i=x+1}^m \sum_{j=1}^n a[i][j] = s[x][n] - (s[m][n] - s[x][n]) = 2 \cdot s[x][n] - s[m][n]$

可以看出$x \rightarrow x+1$ 后的费用增量取决于 $s[x][n]$ 与 总量 $s[m][n]$ 的关系。为了使 $P_x$ 最小化，尝试从 $x=1$ 开始找到第一个使 $P_{x+1} - P_x$ 为正 $x$ 。即 $2 \cdot s[x][n] \geq s[m][n]$ 或者 $s[x][n] > \lfloor \frac{s[m][n]}{2} \rfloor$，所以只要找到刚好过半的某个 $x$ 即可（注意后者是整除不能等于）。

同理找到 $y$ 后，以 $(x,y)$ 为选址对全体仓库计算费用即可。

时间复杂度 $O(mn)$

空间复杂度 $O(mn)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int a[107][107],s[107][107];
 
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)///多组数据要么初始化再加等于，要么输入覆盖再加等于，否则要用等于赋值
    {
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        for(int i = 1; i<=m; i++)
        {
            for(int j = 1; j<=n; j++)
            {
                cin>>a[i][j];
                s[i][j] = a[i][j] + s[i][j-1] + s[i-1][j] - s[i-1][j-1];
            }
        }
        int x,y;
        for(int i = 1; i<=m; i++)
        {
            if(s[i][n]>s[m][n]/2)
            {
                x = i;
                break;
            }
        }
        for(int j = 1; j<=n; j++)
        {
            if(s[m][j]>s[m][n]/2)
            {
                y = j;
                break;
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i<=m; i++)
        {
            for(int j = 1; j<=n; j++)
            {
                ans+=a[i][j]*(abs(i-x)+abs(j-y));
            }
        }
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}