子序列自动机学习笔记

子序列自动机是什么？

下文的 $S$ 默认指一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，$S_i$ 代表 $S$ 的第 $i$ 位，$c$ 代表一个字符。

简介

长度为 $n$ 的字符串 $S$，它的子序列指从 $S$ 中将若干元素提取出来并不改变相对位置形成的序列，即 $S_{p_1},S_{p_2},...,S_{p_k}$，其中 $1\le p_1<p_2<\cdot\cdot\cdot<p_k\le n$。

子序列自动机（Subsequence automaton，翻译自百度翻译），是接受且仅接受一个字符串的子序列的自动机，是一个处理子序列的锐利武器。

对于一个字符串 $S$，我们可以通过使用子序列自动机得到它的每一个子序列，并方便地去维护、查询它们，让人惊喜不已。

状态

oi-wiki 上有形式化的说明，这里给出一个更易理解的版本：

我们维护指针 $to_{i,c}$，其中 $i$ 是一个数字、$c$ 是一个字符。它代表 $S$ 的第 $i$ 个位置后，第一个字符 $c$ 所处的位置。如果 $i$ 位置后没有 $c$ 了，我们可以默认它指向 $n+1$。

比如 S="abcdc"，那么 $to_{1,'d'}=4,to_{2,'c'}=3,to_{3,a}=6$。

这样，我们可以通过从一个位置 $x$ 开始不断跳 to 指针来得到一个 $S$ 的子序列。

因此，为了方便，我们可以设 $to_{0,c}$ 为 $S$ 中第一个 $c$ 所出现的位置，这样跳指针时，设起点 $x=0$ 即可。

为什么 $to_{i,c}$ 是指向 $i$ 后面第一个字符 $c$ 所处的位置，而不是第二个、第三个？

对于两个位置 $j,k$ 且 $j$ 在 $k$ 的前面，如果它们位置上的字符是一样的，都是 $c$，那么以 $k$ 开头的子序列的集合，肯定是以 $j$ 开头的子序列的集合的子集。所以我们可以采取贪心的思想，贪得无厌地选第一个位置，真是大快人心！

子序列自动机怎么构建？

字符集较小

对于字符集较小的情况（比如字符集为 a~z），我们可以直接去维护 $to_{i,c}$。

倒行逆施地，我们从后往前，倒序枚举每一个位置 $i$，构建 $to_{i,c}$。

巧夺天工地维护一个数组 $las$， $las_c$ 代表 $c$ 目前出现最前的位置。

首先我们让字符集里的所有字符 $c$，都执行操作 $ to_{i,c}:=las_c$。接着更新 $las$，令 $\large las_{S_i}=i$ 即可。

时间复杂度为 $O(n|\sum|)$，$|\sum|$ 为字符集大小。

void build(){
	for(int i=1;i<=m;++i)las[i]=n+1;
	for(int i=1;i>=n;--i){
		for(int j=1;j<=m;++j)to[i][j]=las[j];
		las[ S[i] ]=i;
	}
}

字符集较大

如果不随人愿，字符集较大（比如字符集大小为 $10^5$），那么直接维护 $to_{i,c}$，时间和空间复杂度都是庞然大物。改为用可持久化线段树去维护，也就是 $i$ 代表的线段树为它的 $to$ 的值。

因为 $i$ 的改变，只会让 $las$ 改变一个位置的值，这就相当于单点修改，所以时间复杂度是 $O(n\log |\sum|)$ 的。

void plant0(int &o,int l,int r){
	dcnt++,o=dcnt;
	if(l==r){tre[o].val=n+1;return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	plant0(tre[o].lv,l,mid),plant0(tre[o].rv,mid+1,r);
}

void plant(int ori,int &o,int l,int r,int wei,int val){
	dcnt++,o=dcnt;
	tre[o]=tre[ori];
	if(l==r){tre[o].val=val;return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(wei<=mid)plant(tre[ori].lv,tre[o].lv,l,mid,wei,val);
	if(wei>mid) plant(tre[ori].rv,tre[o].rv,mid+1,r,wei,val);
}

int query(int o,int l,int r,int wei){
	if(l==r)return tre[o].val;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(wei<=mid)return query(tre[o].lv,l,mid,wei);
	if(wei>mid) return query(tre[o].rv,mid+1,r,wei);
}

void build(){
	plant0(rot[n],1,m);
	for(int i=n;i>=1;--i)plant(rot[i],rot[i-1],1,m,S[i],i);
}

子序列自动机有什么用？

例题：P5826 - 【模板】子序列自动机

https://www.luogu.com.cn/problem/P5826

题意

给定字符串 $S$，$T$ 次询问，每次询问一个字符串 $B$ 是否为 $S$ 的子序列。

$n,T\le 10^5,|\sum|\le 10^5$。

题解

注意：第一篇 WYXkk 的题解不是本文所说的子序列自动机，一扶苏一的题解才是。

我们需要查询一个字符串 $B$ 是否为 $S$ 的子序列。根据对子序列自动机的理解，我们可以将内忧外患迎刃而解。

让 $B$ 和 $S$ 匹配，也就是在自动机上跑，用指针 $k$ 指向 $S$ 匹配到了哪里。

假如正在试图匹配 $B_i$，那么我们让 $\large k=to_{k,B_i}$。如果 $k=n+1$ 说明匹配失败，$B$ 不是 $k$ 的子序列。如果匹配完 $B$ 了，仍有 $k\le n$ 那么代表 $B$ 是 $k$ 的子序列。

代码

完整代码，干净又卫生，让人大快朵颐：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x;i>=y;--i)
#define lon long long
using namespace std;
const int n7=101234,m7=102,t7=n7*32;
struct dino{int val,lv,rv;}tre[t7];
int n,T,m,L,dcnt,S[n7],b[n7],to[n7][m7],las[n7],rot[n7];

int rd(){
	int shu=0;bool fu=0;char ch=getchar();
	while( !isdigit(ch) ){if(ch=='-')fu=1;ch=getchar();}
	while( isdigit(ch) )shu=(shu<<1)+(shu<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return fu?-shu:shu;
}

void plant0(int &o,int l,int r){
	dcnt++,o=dcnt;
	if(l==r){tre[o].val=n+1;return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	plant0(tre[o].lv,l,mid),plant0(tre[o].rv,mid+1,r);
}

void plant(int ori,int &o,int l,int r,int wei,int val){
	dcnt++,o=dcnt;
	tre[o]=tre[ori];
	if(l==r){tre[o].val=val;return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(wei<=mid)plant(tre[ori].lv,tre[o].lv,l,mid,wei,val);
	if(wei>mid) plant(tre[ori].rv,tre[o].rv,mid+1,r,wei,val);
}

int query(int o,int l,int r,int wei){
	if(l==r)return tre[o].val;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(wei<=mid)return query(tre[o].lv,l,mid,wei);
	if(wei>mid) return query(tre[o].rv,mid+1,r,wei);
}

void build(){
	plant0(rot[n],1,m);
	per(i,n,1)plant(rot[i],rot[i-1],1,m,S[i],i);
}

bool check(){
	int now=0;
	rep(i,1,L){
		now=query(rot[now],1,m,b[i]);
		if(now==n+1)return 0;
	}	
	return 1;
}

int main(){
	rd(),n=rd(),T=rd(),m=rd();
	rep(i,1,n)S[i]=rd();
	build();
	while(T--){
		L=rd();
		rep(i,1,L)b[i]=rd();
		if(L>n)puts("No");
		else puts(check()?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}

P4608 - [FJOI2016]所有公共子序列问题

https://www.luogu.com.cn/problem/P4608（三倍经验这，那）

题意

求两个字符串 $S,T$ 的公共子序列个数。

字符串长度小于等于 $3010$。

题解

可以把子序列自动机看做一个图，连边 $i\to to_{i,c}$，那么从 $0$ 号点出发，任意一条路径就是一个子序列。

对于 $S,T$ 都构建自动机，分别称为 $to,to'$。

对于 k=0 我们可以搜索，枚举当前子序列可以接上的字符 c，搜索即可。

对于 k=1，触类旁通地，我们想到用 dp 解决问题。

设 $f_{i,j}$ 为从 $S_i$ 与 $T_j$ 开始的公共子序列的个数。

既然如此，有：

\[\Large f_{i,j}=\sum\limits_{c\in \text {alphabet}} f_{to_{i,c},to'_{j,c}} \]

可以用记忆化搜索实现，鬼斧神工！

P4112 - [HEOI2015]最短不公共子串

https://www.luogu.com.cn/problem/P4112

这里只做第 2、4 问，因为其余问的解法是 SAM，而非子序列自动机算法。

题意

给定两个字符串 $S,T$，分别长为 $n,m$，求：

$S$ 的一个最短的子串，它不是 $T$ 的子序列，输出其长度。
$S$ 的一个最短的子序列，它不是 $T$ 的子序列，输出其长度。

字符串长度小于等于 $2000$。

题解

给 $T$ 修筑一个子序列自动机。

第一问：

枚举 $S$ 的子串，用 $T$ 的子序列自动机判断其是否为 $T$ 的子序列即可。

第二问：

触类旁通地，我们使用 dp。

设 $f_{i,j}$ 为从 $S_i$ 开始的一个子序列 $B$，长度最小为多少，才能让 $B$ 不是从 $T_j$ 开始的某个子序列。

则有：

\[\Large f_{i,m+1}=0\\\Large f_{i,j}=\min\limits_{c\in \text{alphabet}} \{f_{to_{i,c},to_{j,c}}+1\} \]

意思就是说，$f_{i,j}$ 可以通过在 $B$ 后面拼接一个字符 $c$，那么就是对应的状态加上 1 的长度。

倒序转移 dp 即可，答案显然为 $f_{0,0}$。

参考文献

http://oi-wiki.com/string/seq-automaton

https://www.luogu.com.cn/blog/fusu2333/solution-p5826

再次感谢您的支持！

posted @ 2022-01-20 15:50 BlankAo 阅读(610) 评论(1) 编辑收藏举报

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