SG函数 博弈笔记

基础知识

公平组合游戏

公平组合游戏指的是：

• 一个人可以做出的决策与这个人是 Alice 还是 Bob 无关，只和当前游戏状态有关。

• 大家都知道游戏的完整信息，知道现在的状态，云云。

• 不能多次到达同一个状态。

• 无论怎么操作，游戏必须在有限步操作后结束，且必须有胜负，不能平局。（当然好像有些题目违反了这一条，却还是可做，让我上蹿下跳）

注意，象棋不是公平组合游戏，因为玩家不能用对方的棋子，而且也可以通过来回走棋子使得游戏永不结束。

SG 函数

对于一个 SG 图：

• 没有出边的点，是必败点。

• 所有出边都是必胜点的点，是必败点。

• 有至少一个出边是必败点的点，是必胜点。

证明显然，故不证明。

对于一个点 $SG(x)=\text{mex}(\ SG(v)\ )$。

所以初始状态是，没有出边的点 $SG(x)=0$。

对于 $n$ 个游戏，两个（如贝极星般）顶级聪明玩家博弈，每次可以选择一个游戏操作一次，最后所有游戏都不可以操作的玩家失败。

设 $n$ 个游戏的起点分别为 $s_1,s_2,...,s_n$。

先手必胜当且仅当：

$$T=s_1 \text{\ xor\ } s_2 \text{\ xor\ }...\text{\ xor\ } s_n\neq 0$$

所以等于 0 就先手必败了。

同时， $T$ 也被称作整局游戏的 SG 值。和一个点不同的是，它是由若干个棋子（几个独立的游戏），而一个点只有一个棋子。

最后落得满盘皆输，却不晓得，从最初之始，就已是命中注定！

例题

不要问为什么题目顺序如此奇怪

P3185 - 分裂游戏

https://www.luogu.com.cn/problem/P3185

发现，如果一个瓶子有大于等于两颗豆子，那么后手可以模仿先手操作。

所以只关心一个瓶子豆子模 2 的数量。

计算 SG：

$SG(n)=0$，因为 $n$ 上的豆子不能移动。

$SG(i)=mex (\ SG(j)\ xor\ SG(k)\ ),i<j\le k$，因为将 $i$ 移动到 $j,k$ 后，就相当于两个独立的游戏 ，独立游戏的 SG 值就是它们的异或，然后再取 mex。

所以，最后答案就是，如果瓶子 $i$ 的豆子模 2 等于 1，那么就 $SG(ans)=SG(ans)\ xor\ SG(i)$。因为是独立游戏。

Nim 游戏

每堆石头是独立的，所以答案是它们 $SG$ 值的异或和。

0 个石头：$SG(0)=0$。

1 个石头：连向 0 石头状态，所以 $SG(1)=mex(\ SG(0)\ )=1$。

2 个石头：连向 0 石头和 1 石头状态，所以 $SG(2)=mex(\ SG(0),SG(1)\ )=2$。

……

$n$ 个石头：连向 $0,1,2,...,n-1$ 石头状态，所以 $SG(n)=n$。

所以如果 $xor (\ SG(a_i)\ )\ne 0$ 则先手胜，否则先手败。

AGC017D - Game on Tree

https://www.luogu.com.cn/problem/AT2667

对于一个以 $x$ 为根的树，如果 $x$ 只有一个儿子（不是只有一个子孙），那么先手斩断这条边就可以赢。

如果有两个儿子，那么谁先断掉某一条边，谁就输，所以就转化到在两子树上分别博弈。

但是，不论在子树中如何切割，我都可以直接将根到儿子的边直接切断，结束在子树中的博弈，所以子树中所有的博弈状态都会直接连到砍掉子树的状态。

所以就是 Nim 游戏了。对于一个点 $u$ 且它的儿子是 $v_1,v_2...$，那么 $u$ 对应的 SG 值（此时状态就是只保留 $u$ 所在的子树，的博弈状态），$SG(u)=xor(\ SG(v)+1\ )$。（因为 $0~SG(u)-1$ 的所有值都被占用了，感性理解一下）。