2021.10 好题

https://www.luogu.com.cn/training/2018

Avoid Rainbow Cycles

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1408E

用最小代价删除 \(\to\) 用最大代价保留

我们布置一张新的星图，有 \(n\) 个流星，代表着 \(n\) 个集合。如果元素 \(x\) 出现在 \(i\) 号集合，那么将 \(x\) 号星辰和 \(i\) 号流星相连价值为 \(x+b_i\) 的无向丝线。

此时此刻，仰望星空，发现如果崭新星图亦有天体之环，那么旧图也将对应有环。所以让我们精简星图，细剪连线，求出最大生成树，即可。

Xor Tree

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1446C

整活题解

那是代代相传的处事真言：“如果不能铲除更多不如意，不如去保留更多的幸福。”

将每个数字代表的点化作星斗，那么仰望星空，星图上最多会有 \(n\) 条轻灵丝线。而我们需要遮蔽掉尽量少的星斗，也就是让尽量多的星斗照耀，使得有且仅有一对星斗——牛郎织女星 \((i,j)\)，互相都有 \(a_i\ \text{xor}\ a_j\) 为它们的最小值。依此法做，\(i\) 会指向 \(j\)，且 \(j\) 会指向 \(i\)，双向奔赴，丝线重合，星图上只有 \(n-1\) 条丝线，我们仰头探望，便是树状星辰。

想到 \(\text{xor}\)，思想的平原上便生长出一棵茂盛多枝的字典树，而神妙的肥料就是我们插入的星斗数值 \(a_i\)。我们在字典树的 \(x\) 号点上刻上数字 \(f_x\)，代表探索到 \(x\) 号点的瞬间，我们最优还能保留多少星斗，使多少星斗照耀。

那么，刻画的数字 \(f_x\) 满足以下规律：如果 \(f_x\) 没有左向的枝丫，那么 \(f_x\) 就是右向的枝丫刻画的数字；如果 \(f_x\) 没有右向的枝丫，那么 \(f_x\) 就是左向的枝丫刻画的数字。

尽管如此，如果 \(x\) 既有左向的枝丫，又有右向的枝丫，那么该如何是好？不要慌张，不要大意，我们仅需令 \(f_x\) 等于左向的枝丫刻画的数字与右向的枝丫刻画的数字的极大之值，再加上恒本之 “\(1\)” 即可。原因如下，如果左向枝丫、右向枝丫各只对应一个星斗数值，分别为 \(a_i,a_j\) 那么这一对 \((i,j)\) 满足条件。否则，例如左向枝丫刻画之树稍大，那么我们可以保留全部的左向枝丫对应的星辰，再选一个右边的星斗。设 \(x\) 的深度为 \(dep_x\)，由于它们在二进制下从高向低第 \(dep_x+1\) 位不同，所以右边的星斗必不会与左边的星斗满足条件（左边的星斗互相连显然更优）。因此，当这棵字典树上数字刻尽，再向上望去，必将也是一棵大树——满足题设的、长在星辰大海中的苍天之树。而擦拭汗水后，用 \(n\) 减去字典树根节点的刻画的数字（因为求的是最少遮蔽多少星辰，便是 \(n-f_{\text{root}}\)），便是我们将大声呼喊出的，世间的最终真理。

正经题解

! 删除最少 = 保留最多。

要使有且仅有一对 \((i,j)\)，使得 \(a_i\text{ xor } a_j\) 是互相的最小值，这样它们的边就会重复。建立字典树，设 \(f_x\) 为处理到字典树点 \(x\) 的时候最多可以保留多少个数字。

\[f_x=f_{lson} , \text{ if no rson}\\ f_x=f_{rson} , \text{ if no lson}\\ f_x=\max(f_{lson},f_{rson})+1,\text{ otherwise} \]

最后一个转移方程的意思是，如果左儿子 \(f\) 更大，那么就保留左儿子。右儿子不可以选两个以上，因为这样就不止一对合法的 \((i,j)\)（左儿子中有，右儿子也有）。但是右儿子可以选一个，因为右儿子与左儿子的任意一个的 \(x_{dep}+1\) 位不同，肯定不会是互相的最小值（左儿子间的 \(x_{dep}+1\) 位是 0）。右儿子 \(f\) 更大，同理。

Happy New Year

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1313D

! 发现 \(k\le 8\)。对于很小的数据，题解，居然，想到，状压！

采用扫描线的思路，将区间们化作很多个端点们。设 \(f_{i,S}\) 为在第 \(i\) 个端点，包含这个端点的 \(k\) 个区间是否选择的状态，然后 dp 即可。到时候打代码的时候具体想想转移方程。

Divide Square

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1401E

发现答案贡献来自两个：

1. 直接将矩形劈成两半的线段数量 \(A\)。
2. 线段间交点数量 \(B\)。（每多一个交点，就会多一个矩形）

\(ans=A+B+1\)。

重点在于计算 \(B\)。将横向线段当做修改，纵向线段当做查询，树状数组即可。

Edge Weight Assignment

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1338B

构造题，从点到根的所有边入手。

Two Different

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1408F

手操发现，答案似乎是：第一次 2 的倍数，第二次 4 的倍数……

题解上说递归 \((1,n)\) 分为 \((1,k),(k+1,n)\) 操作即可，其中 \(\log k\in \mathbb Z\)。

Stoned Game

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1396B

我考虑到，如果有一堆比其它所有堆之和还要多，那么先手必赢。

然后就不会了2333。

题解是这样说的，如果没有上面的情况，那么两人轮流走，采取最优策略，是不会使得上面的情况发生的。模拟一下可知，如果一堆很多了，那么肯定会去取这一堆，保障没有让对手必赢的情况。于是最后肯定会把石头全部取完，判断总石子奇偶性。

Chess Strikes Back

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1379F1

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1379F2

\(2n\times 2m\)？\(n\times m\)？

! 于是我们把棋盘划分为许多个 \(2\times 2\) 的小矩阵。这些小矩阵必定是左上角和右下角白色。将矩阵分为四类：

1. 两块都没有被挖掉。
2. 两块都有被挖掉。
3. 左上被挖，右下保留。
4. 右下被挖，左上保留。

如果小矩阵 3 的右下方有小矩阵 4（准确来说，如果小矩阵 3 坐标 \((a,b)\)，小矩阵 4 坐标 \((x,y)\)，那么 \(a\ge x\ \and\ b\ge y\)），那么就不合法了。

用线段树维护 3 的最左位置和 4 的最右位置即可。

Web of Lies

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1548A

注意到，如果有一个点 \(A\)，有比它大的点 \(B\) 与它相连，那么 \(A\) 一定会被删。因为此连通块大小大于等于 2，所以它会被删（感性递归一下吧233）。所以，如果有一个原本是孤立的点，连上了一个比它大的点，答案减少一。同样道理，如果有一个点删除边后变成一个孤立的点，答案增加一。

Staircases

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1598E

这道题充分展示了我的水分

设 \(f_{x,y,1/2}\) 为以 \((x,y)\) 开始的，结构为 \(1/2\) 的楼梯的数量。

Weights

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1599A

! 正推不行就逆推！懂？

我们将砝码由重到轻排序，如果最后一位是 L，那么把第 1 3 5 7…… 个砝码放到左边，其它放到右边，是最优的。最后一位是 R 同理。

于是我们从第 \(i\) 个状态转移到第 \(i-1\) 个状态只需要删除一个砝码。

然后有一个神仙推论：删除最轻的砝码，不会改变当前天平的方向；删除最重的砝码，必会改变当前天平的方向。

! 从最大最小值入手。