题解-P4169 [Violet]天使玩偶/SJY摆棋子
\(\Large\natural\) P4169 [Violet]天使玩偶,SJY摆棋子 \ 原题链接
题意
由于特殊原因，加了个题意简述
一开始有 \(n\) 个关键点 \((a,b)\)。然后有 \(T\) 个操作：
- 多出一个关键点 \((a,b)\)。
- 询问如果我站在 \((x,y)\)，最近的关键点距离我多远。（这里的距离是曼哈顿距离）
\(n,T\le 3\times 10^5\)，以及 \(0\le a,b,x,y\le 10^6\)。
解法
一开始的 \(n\) 个点直接当修改操作。
曼哈顿距离表示是 \(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)，这显然不好算。一般对于曼哈顿距离有两种解决方案，一种是转成切比雪夫距离，另一种是拆绝对值。我们看到这题有修改操作，想到拆绝对值更方便一些。
对于询问操作，我们分四种情况讨论（最近的点在我的左上 / 右上 / 左下 / 右下）。看到题目有三个维度 \(x,y,t\)，我们可以想到 CDQ分治。
下面以点在我右上角为例。
对于每一个询问 \((x,y)\)，其它点处我的距离是：
\(x,y\) 是不会变的，我们只用找到 \(a+b\) 的最小值即可。
按照 CDQ分治 的套路，我们已经把区间一分为二。对于每个区间，我们以 \(x\) 为第一关键字， \(y\) 为第二关键字排序操作。
我们的目的是，查询 \((x,y)\) 右上角的点中 \(a+b\) 最小值，我们可以用线段树维护。
然后每次把 \(a\ge x\) 的修改都加入（给 \(b\) 这个位置更新 \(a+b\) 权值）。这个时候所有的关键点肯定都在 \((x,y)\) 的右边。而查询 \(y\sim \inf\) 就保证了关键点在 \((x,y)\) 的上方，所以就查询到了右上角啦~
最后根据套路，记得清空线段树。
其它三个方位都是类似的，只用稍微改一下排序方式、枚举方式、线段树更新权值、线段树查询区间就行了。看似很复杂，但只要多在纸上画画图就可以清晰地打完题目了。
代码
注意因为一开始的关键点都当修改操作了，所以存操作的数组空间得开两倍。
数组要清空为极大值。
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
using namespace std;
const int n7=601234,t7=4012345,hug=1000000;
struct dino{int sys,x,y,id;}qq[n7];
int n,T,tre[t7],ans[n7];
int rd(){
int shu=0;char ch=getchar();
while( !isdigit(ch) )ch=getchar();
while( isdigit(ch) )shu=(shu<<1)+(shu<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return shu;
}
void updat(int o,int l,int r,int id,int x){
if(l==r){tre[o]=x;return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(id<=mid)updat(o<<1,l,mid,id,x);
else updat(o<<1|1,mid+1,r,id,x);
tre[o]=min(tre[o<<1],tre[o<<1|1]);
}
int query(int o,int l,int r,int L,int R){
if(L<=l&&r<=R)return tre[o];
int mid=(l+r)>>1,fin=INT_MAX;
if(L<=mid) fin=query(o<<1,l,mid,L,R);
if(R>=mid+1)fin=min(fin, query(o<<1|1,mid+1,r,L,R) );
return fin;
}
bool cmp1(dino p,dino q){return p.x==q.x?p.y>q.y:p.x>q.x;}
bool cmp2(dino p,dino q){return p.x==q.x?p.y>q.y:p.x<q.x;}
bool cmp3(dino p,dino q){return p.x==q.x?p.y<q.y:p.x<q.x;}
bool cmp4(dino p,dino q){return p.x==q.x?p.y<q.y:p.x>q.x;}
void CDQ(int l,int r){
if(l==r||r<=n)return;
int mid=(l+r)>>1,L;
CDQ(l,mid),CDQ(mid+1,r);
//点在我站位右上角
sort(qq+l,qq+mid+1,cmp1);
sort(qq+mid+1,qq+r+1,cmp1);
L=l;
rep(i,mid+1,r){
if(qq[i].sys==1)continue;
while(qq[L].x>=qq[i].x&&L<=mid){
if(qq[L].sys==1)updat(1,0,hug,qq[L].y,qq[L].x+qq[L].y);
L++;
}
ans[ qq[i].id ]=min(ans[ qq[i].id ],query(1,0,hug,qq[i].y,hug)-qq[i].x-qq[i].y);
}
rep(i,l,L-1){
if(qq[i].sys==1)updat(1,0,hug,qq[i].y,tre[0]);
}
//点在我站位左上角
sort(qq+l,qq+mid+1,cmp2);
sort(qq+mid+1,qq+r+1,cmp2);
L=l;
rep(i,mid+1,r){
if(qq[i].sys==1)continue;
while(qq[L].x<=qq[i].x&&L<=mid){
if(qq[L].sys==1)updat(1,0,hug,qq[L].y,-qq[L].x+qq[L].y);
L++;
}
ans[ qq[i].id ]=min(ans[ qq[i].id ],query(1,0,hug,qq[i].y,hug)+qq[i].x-qq[i].y);
}
rep(i,l,L-1){
if(qq[i].sys==1)updat(1,0,hug,qq[i].y,tre[0]);
}
//点在我站位左下角
sort(qq+l,qq+mid+1,cmp3);
sort(qq+mid+1,qq+r+1,cmp3);
L=l;
rep(i,mid+1,r){
if(qq[i].sys==1)continue;
while(qq[L].x<=qq[i].x&&L<=mid){
if(qq[L].sys==1)updat(1,0,hug,qq[L].y,-qq[L].x-qq[L].y);
L++;
}
ans[ qq[i].id ]=min(ans[ qq[i].id ],query(1,0,hug,0,qq[i].y)+qq[i].x+qq[i].y);
}
rep(i,l,L-1){
if(qq[i].sys==1)updat(1,0,hug,qq[i].y,tre[0]);
}
//点在我站位右下角
sort(qq+l,qq+mid+1,cmp4);
sort(qq+mid+1,qq+r+1,cmp4);
L=l;
rep(i,mid+1,r){
if(qq[i].sys==1)continue;
while(qq[L].x>=qq[i].x&&L<=mid){
if(qq[L].sys==1)updat(1,0,hug,qq[L].y,qq[L].x-qq[L].y);
L++;
}
ans[ qq[i].id ]=min(ans[ qq[i].id ],query(1,0,hug,0,qq[i].y)-qq[i].x+qq[i].y);
}
rep(i,l,L-1){
if(qq[i].sys==1)updat(1,0,hug,qq[i].y,tre[0]);
}
}
int main(){
n=rd(),T=rd();
rep(i,1,n)qq[i]=(dino){1,rd(),rd(),0};
rep(i,n+1,n+T)qq[i]=(dino){rd(),rd(),rd(),i-n};
memset(ans,0x3f,sizeof ans);
memset(tre,0x3f,sizeof tre);
CDQ(1,n+T);
rep(i,1,T){
if(ans[i]^ans[0])printf("%d\n",ans[i]);
}
return 0;
}
