CCF冬令营Day1上午

可能只有这一讲的笔记了……QAQ

二维区间DP

听到名字就显然了，故略。

四边形不等式

讲解

有一类常见DP问题，通常是区间DP，转移方程都是

\[\large f_{i,j}=min\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w_{i,j}\} \]

显然枚举 \(i,j,k\) 是 \(O(n^3)\) 的，但是可以降低为 \(O(n^2)\)：

将 \(k:i\sim j\) 改为 \(k:c_{i,j-1}\sim c_{i+1,j}\)。其中 \(c_{i,j}\) 为 \(f_{i,j}\) 的最优分割点。

时间复杂度照例不会证明。

但是要用这个优化，需要满足四边形不等式：

\[\large \forall i<i'\le j'< j,f_{i,j'}+f_{i',j}\le f_{i,j}+f_{i',j'} \]

例题：环形石子合并

轮廓线

例题

用 1X2 和 2X1 的砖块填充 NXM 的棋盘，求方案数。

数据范围：没看清

状压DP。假设我们现在是5行6列。

轮廓线上面的都填了， \(k_{0\sim 5}\) 是否被覆盖用DP状态压缩。（就是轮廓线下面的那六个格子，注意顺序）

现在我们要下压轮廓线，

判断 \(x\) 状态：

1. \(x\) 没有砖块，那么 \(k_5k_4k_3k_2k_1k_0\rightarrow k_4k_3k_2k_1k_00\)

   f[now][(k<<1)&(~(1<<m))]+=f[old][k]

2. \(x\) 放竖砖块，那么 \(k_5k_4k_3k_2k_1k_0\rightarrow k_4k_3k_2k_11\ 1\)

   f[now][(k<<1)^1]+=f[old][k]

3. \(x\) 放横砖块，那么 \(k_5k_4k_3k_2k_1k_0 \rightarrow k_4k_3k_2k_1k_01\)

   f[now][((k<<1)|3)&(~(1<<m))]+=f[old][k]

状压实现。注意 \(k\) 总是轮廓线下方的格子。滚动数组。

复杂度 \(O(nm2^m)\) 所以如果有题目 \(n、m\) 范围不一样，那么就考虑一下此算法。

P.S. 现在开始讲单调队列DP和背包了？？？？

多重背包单调队列优化

没听

斜率优化

假如有DP方程 \(f_j=\max\{a_i\times b_j+f_i\}\)

\(f_j=\max\{a_i\times b_j+f_i\}\)

先去掉 \(\max\) 令 \(y=f_j,x=b_j,k=a_i,b=f_i\)

则变成了 \(y=kx+b\)。