生成函数 抄写笔记
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前置知识
多项式
\(f(x)=\sum\limits_{i\ge 0}^n a_ix^i\)
求导
？
积分
？
TayLor 展开
？
生成函数
基本
对于一个数列 \(\{a\}\) ，把其当做多项式的系数，故 \(A(x)=\sum\limits_{k\ge 0}a_kx^k\)
以及广义二项式定理：\((1+z)^\alpha=\sum\limits_{k\ge 0}\frac{\alpha ^{k\downarrow}}{k!}=\sum\limits_{k\ge 0}(^a_k)x^k\)
其中 \(a^{k\downarrow}=a(a-1)(a-2)(a-3)...(a-k+1)\)
……
前缀和
一阶前缀和
\(S(z)=\sum\limits_{i=1}^za_i\)
用力将 \(S(z)\) 星空爆裂，于是有
\(S(z)=(1+z+z^2+...)A(z)=\frac{1}{1-z}A(z)\)
k 阶前缀和
越来越抽象……我们已经飘至宇宙的空间交深处……
待填
花式生成函数
\(\{a_0,a_1,a_2,...\}=A(z)\)
则 \(\{a_0,0,a_2,0,a_4,...\}=A(z^2)\)
以及 \(\{a_0,0,a_2,0,a_4,.. \}=\frac{A(z)+A(-z)}{2}\) 就是偶数项会相加，奇数项会相减，然后除以二。
那么 \(b_n=a_n·[m|n],B(z)=?\)
待填
单位根反演还是伸缩反演（待填）
\(\sum\limits_{i=0}^{m-1}=(\omega_m^{ki})^i=?\)
\(=\frac{1-w_m^{km}}{1-w_m^k}\) 吗？
错误，因为当 \(k|m\) 时分母为 0 无意义！
所以原式 \(=1.m(m|k时) 2.0(m不能|k时)\)
不会大括号和不整除号待填
于是生成函数 \(B(z)=\frac{\sum\limits_{i=0}^{m-1}A(w_m^iz)}{m}\)
叫单位根反演还是伸缩反演？待填
线性递推
例题：斐波那契数列有 \(F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>1)\)
注意这才是标准的、唯一的斐波那契数列。
其生成函数有 \(F(z)=zF(z)+z^2F(z)+z\)
\(F(z)=\frac{z}{1-z-z^2}\)
因式分解什么什么的得到通项公式（就是那个带很多根号五的……）
解析组合
用花体字表示一个什么什么？？？？、 \(\mathcal{ABCDEFGIHKLMNOPQRSTUVWXYZ}\)
笛卡尔积
\(\mathcal{A*B=\{r=(\alpha,\beta),\alpha\in A,\beta\in B\}}\)
即二元组的形式。
正如 \({\R(数轴)\times \R(数轴)=\R^2(平面直角坐标系)}\)
所以 \(\mathcal{C=A\times B}\) （？形式）等同于 \(C(z)=A(z)\times B(z)\) （生成函数）
集合的和
若 \(A \bigcap B=\empty\) 则，令人啧啧称奇的，\(C=A\bigcap B\) 等同于 \(C=A+B\) ，以及 \(C(z)=A(z)+B(z)\)。
序列
\(\mathcal A\) 的序列 \(SEQ(A)=\{\{\empty\}+\mathcal{\ A\ +\ A\times A\ +\ A\times A\times A+...} \}\)
设 \(\mathcal A\) 生成函数为 \(f\) ，则 \(SEQ\) 生成函数为 \(Q[f]=1+\ f\ +\ f\times f\ +...=\frac{1}{1-f}\)
试试看！
\(n\) 个点有根无标号树计数（儿子有区分）
EXP ！
？
幂集
定义：子集构成的集合
例如： \(\{1,2,3\}\) 构成的幂集是 \(\{\empty,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\)
\(\rm{PEST}(A)=\prod\limits_{\alpha \in \mathcal A}(\{\empty\}\ +\ {\alpha})\)
代表选或者不选这个元素。
经过学长奇奇怪怪而又令人无可辩驳（因为已经傻了）的冗杂推导后，我们得到
\(\rm{PEST}(A) = 带上划线 Exp[A]=exp(\sum\limits_{k\ge 1}\frac{(-1)^{(k-1)}}{k}\mathcal A(z^k)\)
待填，改版 Polya 函数
多重集（可重集）
\(\rm{MEST}(\mathcal A)=\prod\limits_{a\in \mathcal{A}}SEQ(\{a\})\)
\(Exp[\mathcal A]=\prod_{n\ge 1}(\frac{1}{(1-z^n)})^{An}=...=\exp (\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k}A(z^k))\)
？题目
学长几个题目：待填放超链接
