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1 介绍

  拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmaps)是一种不太常见的降维算法,它看问题的角度和常见的降维算法不太相同,是从局部的角度去构建数据之间的关系。具体来讲,拉普拉斯特征映射是一种基于图的降维算法,它希望相互间有关系的点(在图中相连的点)在降维后的空间中尽可能的靠近,从而在降维后仍能保持原有的数据结构。

2 推导

  拉普拉斯特征映射通过构建邻接矩阵为 WW 的图来重构数据流形的局部结构特征。

  其主要思想是:如果两个数据实例 iijj 很相似,那么 iijj 在降维后目标子空间中应该尽量接近。设数据实例的数目为 nn ,目标子空间即最终的降维目标的维度为 mm 。 定义 n×mn×m 大小的矩阵 YY ,其中每一个行向量 yTiyTi 是数据实例 ii 在目标 mm 维子空间中的向量表示(即降维后的数据实例 ii )。我们的目的是让相似的数据样例 iijj 在降维后的目标子空间里仍旧尽量接近,故拉普拉斯特征映射优化的目标函数如下:

    mini,jyiyj2Wijmini,jyiyj2Wij

  下面开始推导:

    ni=1nj=1yiyj2Wij=ni=1nj=1(yTiyi2yTiyj+yTjyj)Wij=ni=1(nj=1Wij)yTiyi+nj=1(ni=1Wij)yTjyj2ni=1nj=1yTiyjWij=2ni=1DiiyTiyi2ni=1nj=1yTiyjWij=2ni=1(Diiyi)T(Diiyi)2ni=1yTi(nj=1yjWij)=2trace(YTDY)2ni=1yTi(YW)i=2trace(YTDY)2trace(YTWY)=2trace[YT(DW)Y]=2trace(YTLY)ni=1nj=1yiyj2Wij=ni=1nj=1(yTiyi2yTiyj+yTjyj)Wij=ni=1(nj=1Wij)yTiyi+nj=1(ni=1Wij)yTjyj2ni=1nj=1yTiyjWij=2ni=1DiiyTiyi2ni=1nj=1yTiyjWij=2ni=1(Diiyi)T(Diiyi)2ni=1yTi(nj=1yjWij)=2trace(YTDY)2ni=1yTi(YW)i=2trace(YTDY)2trace(YTWY)=2trace[YT(DW)Y]=2trace(YTLY)

  其中 WW 是图的邻接矩阵,对角矩阵 DD 是图的度矩阵 (Dii=nj=1Wij)(Dii=nj=1Wij)L=DWL=DW 为图的拉普拉斯矩阵。

  变换后的拉普拉斯特征映射优化的目标函数如下:

    mintrace(YTLY) s.t. YTDY=Imintrace(YTLY) s.t. YTDY=I

  限制条件  s.t.YTDY=Is.t.YTDY=I 为了消除低维空间中的缩放因子,也为了保证 DiiDii 值较大的样本点在低维空间中更为重要,下面用拉格朗日乘子法对目标函数求解:

    f(Y)=tr(YTLY)+tr[Λ(YTDYI)]f(Y)=tr(YTLY)+tr[Λ(YTDYI)]

    f(Y)Y=LY+LTY+DTYΛT+DYΛ=2LY+2DYΛ=0f(Y)Y=LY+LTY+DTYΛT+DYΛ=2LY+2DYΛ=0

    LY=DYΛ

  其中,Λ 为一个对角矩阵,另外 LD 均为实对称矩阵,其转置与自身相等。对于单独的 y 向量,上式可写为: Ly=λDy,这是一个广义特征值问题。通过求得 m 个最小非零特征值所对应的特征向量,即可达到降维的目 的。

  关于这里为什么要选择 m 个最小非零特征值所对应的特征向量。将 LY=DYΛ 带回到 mintrace(YTLY) 中,由于有着约束条件 YTDY=I 的限制,可以得到 mintrace(YTLY)=mintrace(Λ) 。即为特 征值之和。我们为了目标函数最小化,要选择最小的 m 个特征值所对应的特征向量。

3 步骤

  使用时算法具体步骤为:

  步骤1:构建图

    使用某一种方法来将所有的点构建成一个图,例如使用KNN算法,将每个点最近的K个点连上边。K是一个预先设定的值。

  步骤2:确定权重

    确定点与点之间的权重大小,例如选用热核函数来确定,如果点 i 和点 j 相连,那么它们关系的权重设定为:

    Wij=exixj2t

    另外一种可选的简化设定是 Wij=1 如果点 ij 相连,否则 Wij=0

  步骤3:特征映射

    计算拉普拉斯矩阵 L 的特征向量与特征值: Ly=λDy

    使用最小的 m 个非零特征值对应的特征向量作为降维后的结果输出。

 

Code:

复制代码
# coding:utf-8

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_digits
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def make_swiss_roll(n_samples=100, noise=0.0, random_state=None):
    #Generate a swiss roll dataset.
    t = 1.5 * np.pi * (1 + 2 * np.random.rand(1, n_samples))
    x = t * np.cos(t)
    y = 83 * np.random.rand(1, n_samples)
    z = t * np.sin(t)
    X = np.concatenate((x, y, z))
    X += noise * np.random.randn(3, n_samples)
    X = X.T
    t = np.squeeze(t)
    return X, t

def rbf(dist, t = 1.0):
    '''
    rbf kernel function
    '''
    return np.exp(-(dist/t))

def cal_pairwise_dist(x):

    '''计算pairwise 距离, x是matrix
    (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b
    '''
    sum_x = np.sum(np.square(x), 1)
    dist = np.add(np.add(-2 * np.dot(x, x.T), sum_x).T, sum_x)
    #返回任意两个点之间距离的平方
    return dist

def cal_rbf_dist(data, n_neighbors = 10, t = 1):

    dist = cal_pairwise_dist(data)
    dist[dist < 0] = 0
    n = dist.shape[0]
    rbf_dist = rbf(dist, t)

    W = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        index_ = np.argsort(dist[i])[1:1+n_neighbors]
        W[i, index_] = rbf_dist[i, index_]
        W[index_, i] = rbf_dist[index_, i]

    return W

def le(data,
          n_dims = 2,
          n_neighbors = 5, t = 1.0):
    '''
    :param data: (n_samples, n_features)
    :param n_dims: target dim
    :param n_neighbors: k nearest neighbors
    :param t: a param for rbf
    :return:
    '''
    N = data.shape[0]
    W = cal_rbf_dist(data, n_neighbors, t)
    D = np.zeros_like(W)
    for i in range(N):
        D[i,i] = np.sum(W[i])

    D_inv = np.linalg.inv(D)
    L = D - W
    eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(np.dot(D_inv, L))

    sort_index_ = np.argsort(eig_val)

    eig_val = eig_val[sort_index_]
    print("eig_val[:10]: ", eig_val[:10])

    j = 0
    while eig_val[j] < 1e-6:
        j+=1

    print("j: ", j)

    sort_index_ = sort_index_[j:j+n_dims]
    eig_val_picked = eig_val[j:j+n_dims]
    print(eig_val_picked)
    eig_vec_picked = eig_vec[:, sort_index_]

    # print("L: ")
    # print(np.dot(np.dot(eig_vec_picked.T, L), eig_vec_picked))
    # print("D: ")
    # D not equal I ???
    print(np.dot(np.dot(eig_vec_picked.T, D), eig_vec_picked))

    X_ndim = eig_vec_picked
    return X_ndim

if __name__ == '__main__':
    X, Y = make_swiss_roll(n_samples = 2000)  #生成瑞士卷数据集
    X_ndim = le(X, n_neighbors = 5, t = 20)
    
    fig = plt.figure(figsize=(12,6))
    ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
    ax1.scatter(X[:, 0], X[:, 1], X[:, 2], c = Y)
    
    ax2 = fig.add_subplot(122)
    ax2.scatter(X_ndim[:, 0], X_ndim[:, 1], c = Y)
    plt.show()

    X = load_digits().data
    y = load_digits().target

    dist = cal_pairwise_dist(X)
    max_dist = np.max(dist)
    print("max_dist", max_dist)
    X_ndim = le(X, n_neighbors = 20, t = max_dist*0.1)
    plt.scatter(X_ndim[:, 0], X_ndim[:, 1], c = y)
    plt.savefig("LE2.png")
    plt.show()
复制代码

 

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