三角函数公式

三角公式汇总

一、任意角的三角函数

　　在角    $\alpha$    的终边上任取一点   $P(x, y)$  , 记:   $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $,
　　正弦:   $\sin \alpha=\frac{y}{r}  $    余弦:   $\cos \alpha=\frac{x}{r} $
　　正切:   $\tan \alpha=\frac{y}{x}$   余切:   $\cot \alpha=\frac{x}{y}$

二、同角三角函数的基本关系式

　　倒数关系: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1 $。
　　商数关系: $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $。
　　平方关系: $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 $

三、诱导公式

　　(1) $\alpha+2 k \pi(k \in Z) 、-\alpha 、 \pi+\alpha 、 \pi-\alpha 、 2 \pi-\alpha$ 的三角函数值, 等于 $\alpha$ 的 同名函数值, 前面加上一个把 $\alpha$ 看成锐角时原函数值的符号。(口诀: 函数名 不变, 符号看象限)

　　(2) $\frac{\pi}{2}+\alpha 、 \frac{\pi}{2}-\alpha 、 \frac{3 \pi}{2}+\alpha 、 \frac{3 \pi}{2}-\alpha$  的三角函数值, 等于 $\alpha$  的异名函数值, 前面加上一个把 $\alpha$   看成锐角时原函数值的符号。(口诀: 函数名改变, 符号看 象限)

 

四、和差公式

　　$\begin{array}{ll}\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta & \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta \\\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta & \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \\\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta} & \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta}\end{array}$

五、二倍角公式

　　　　$\begin{array}{l}\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha\\\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha\\\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}\end{array}$

　　二倍角的余弦公式有以下常用变形: (规律: 降幂扩角, 升幂缩角)

　　　　$\begin{array}{l}1+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha \quad 1-\cos 2 \alpha=2 \sin ^{2} \alpha\\1+\sin 2 \alpha=(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2} \quad 1-\sin 2 \alpha=(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}\\\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \quad \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \quad \sin \alpha \cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{2}\end{array}$

 

详细参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/362443307