谱分解（SD）

前提：矩阵A必须可相似对角化！

充分条件:

• $A$ 是实对称矩阵
• $A$ 有 $n$ 个互异特征值
•  $A^{\wedge} 2=A $
• $\mathrm{A}^{\wedge} 2=\mathrm{E} $
• $  r(A)=1 且 \operatorname{tr}(A) !=0$

　　谱分解（Spectral Decomposition ），又称特征分解，或相似标准形分解，是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法，需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。它体现了线性变换的旋转和缩放的功效。

　　设  $A$  为  $n$  阶实对称阵，则必有正交阵  $P$  ，使  $A=P \Lambda P^{T} $   其中 $ \Lambda $  是以  $  A $   的   $n$   个特征值为对角元的对角阵，  $P$   是由   $A$   的   $ n$   个特征向量得到 的正交矩阵。

实对称矩阵谱分解的步骤

　　设  $\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{R}^{n \times n}$,  $ \boldsymbol{A}^{\prime}=\boldsymbol{A} $
　　(i) 求出  $A$  的所有不同的特征值:  $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r} \in R $，其重数  $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{r} $  必满足  $\sum_{i=1}^{r} n_{i}=n $;
　　(ii) 对每个  $  \lambda_{i}  $   ，解齐次线性方程组

　　　　$\left.\left(\lambda_{i}\right) E-A\right) X=0$

　　求出它的一个基础解系:   $\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n} $
　　把它们按   Schmidt   正交化过程化成 标准正交组

　　　　$\boldsymbol{\eta}_{i 1}, \boldsymbol{\eta}_{i 2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{i n}$

　　(iii) 因为   $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r} $  互不相同，所以

　　将  $\boldsymbol{\eta}_{11}, \boldsymbol{\eta}_{12}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{1 n_{1}}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{r 1}, \boldsymbol{\eta}_{r 2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{r \boldsymbol{n}_{r}}$  的分量依次作 矩阵  $P$的第  $1,2, \cdots, n$  列, 则  $P$  是正交矩阵, 且有  $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{\boldsymbol{T}}$ .

例题

　　已知  $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\-1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0\end{array}\right]$  求一个正交矩阵 $P$  , 使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{\boldsymbol{T}}$ 为对角阵. 

　　第1步: 求特征值.

　　　　$\begin{array}{c}|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & -1 \\1 & \lambda & -1 \\-1 & -1 & \lambda\end{array}\right| \underline{r_{1}-r_{2}}\left|\begin{array}{cccc}\lambda-1 & 1-\lambda & 0 \\1 & \lambda & -1 \\-1 & -1 & \lambda\end{array}\right| \\=(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\1 & \lambda & -1 \\-1 & -1 & \lambda\end{array}\right|=(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\1 & \lambda+1 & -1 \\-1 & -2 & \lambda\end{array}\right|=(\lambda+2)(\lambda-1)^{2} \\\lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=\lambda_{3}=1\end{array}$

　　第2步: 求线性无关的特征向量. 

　　对 $\lambda_{1}=-2$  , 解方程组 $(A+2 E) x=0$

　　　　$A+2 E=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\-1 & 2 & 1 \\1 & 1 & 2\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]$

　　求得基础解系(即最大无关特征向量)

　　　　$\alpha_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\-1 \\1\end{array}\right]$

　　对  $\lambda_{2}=\lambda_{3}=1$ , 解方程组  $(A-E) x=0 $

　　　　$A-E=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 1 \\-1 & -1 & 1 \\1 & 1 & -1\end{array}\right] \stackrel{r}{\rightarrow}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]$

　　求得基础解系(即最大无关特征向量)

　　　　$\begin{array}{l}\alpha_{2}=\left[\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right], \alpha_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\1\end{array}\right] , \alpha_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\-1 \\1\end{array}\right] \\{\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}\right]=?\left[\alpha_{1}, \alpha_{3}\right]=? \quad\left[\alpha_{2}, \alpha_{3}\right]=0 ?}\end{array}$

　　第3步: 检验重特征值对应的特征向量是否正交, 如果不正交,
　　用施密特过程正交化; 再把正交的特征向量单位化.

　　　　$\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{c}-\mathbf{1} \\\mathbf{1} \\\mathbf{0}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{3}}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{1} \\\mathbf{0} \\\mathbf{1}\end{array}\right] \\\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{2}}=\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{2}} \\\boldsymbol{\beta}_{3}=\alpha_{3}-\frac{\left[\beta_{2}, \alpha_{3}\right]}{\left[\beta_{2}, \beta_{2}\right]} \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\0 \\1\end{array}\right]+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{l}1 \\1 \\2\end{array}\right]\end{array}$

　　单位化:

　　　　$\xi_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\left\|\alpha_{1}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}-1 \\-1 \\1\end{array}\right] \quad \xi_{2}=\frac{\beta_{2}}{\left\|\beta_{2}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right] \quad \xi_{3}=\frac{\beta_{3}}{\left\|\beta_{3}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{l}1 \\1 \\2\end{array}\right]$

　　第4步: 把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵.

　　令  $ P=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right] $
　　则   $A=P\left[\begin{array}{ccc}-2 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{array}\right] P^{T}$

 

参考