行空间、列空间、零空间

行空间、列空间

　　行空间、列空间 如果 $A$ 为一 $m \times n$ 矩阵，由 $A$ 的行向量张成的 $R^{1 \times n}$ 的子空间称为 $A$ 的行空间(row space)。由 $A$ 的各列张成的 $\mathbf{R}^{\mathrm{m}}$ 的子空间称为 $A$ 的列空间(column space)。
　　例 1 令
　　　　$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{array}\right]$
　　$A$ 的行空间是所有如下形式的3元组:
　　　　$\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)=(\alpha, \beta, 0)$
　　$A$ 的列空间是所有如下形式的向量:
　　　　$\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\0\end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{l}0 \\1\end{array}\right]+\gamma\left[\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\alpha \\\beta\end{array}\right]$
　　因此， $A$ 的行空间为一个 $R^{1 \times 3}$ 的二维子空间，且 $A$ 的列空间为 $R$

矩阵的零空间

　　考虑矩阵
　　　　$A=\left[\begin{array}{ccc}-2 & -4 & 4 \\2 & -8 & 0 \\8 & 4 & -12\end{array}\right]$
　　要找到它的零空间，须找到所有向量 $v$ 使得 $A v=0$ 。首先把 $A$ 变换成简约行梯阵形式,
　　　　$E=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 / 3 \\0 & 1 & -1 / 3 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]$
　　有 $A V=0$ 当且仅当 $E V=0$ 。使用符号，后者方程变为
　　　　$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 / 3 \\0 & 1 & -1 / 3 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\0 \\0\end{array}\right] ;\left[\begin{array}{c}x-4 z / 3 \\y-z / 3 \\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\0 \\0\end{array}\right] ;\left[\begin{array}{c}x=4 z / 3 \\y=z / 3 \\0=0\end{array}\right] ;\left[\begin{array}{c}x=4 s / 3 \\y=s / 3 \\z=s\end{array}\right]$
　　所以， $A$ 的零空间是一维空间，
　　　　$v=\left[\begin{array}{c}4 s / 3 \\s / 3 \\s\end{array}\right]$