等度量映射ISOMAP

简介

　　流形学习是一类借鉴了拓扑流形概念的降维方法。流形是在局部与欧式空间同胚的空间，换言之，它在局部具有欧式空间的性质，能用欧式距离来进行距离计算。若低维流形嵌入到高维空间中，则数据样本在高维空间的分布虽然看上去非常复杂，但在局部上仍具有欧式空间的性质，基于流形学习的降维正是这种“邻域保持”的思想。如此，可以在局部建立降维映射关系，然后再设法将局部映射推广到全局。当维数被降至二维或三维时，能对数据进行可视化展示。因此流形学习也可被用于可视化 。

Isomap算法

　　　　

　　Isomap算法是在MDS算法的基础上衍生出的一种算法，MDS算法是保持降维后的样本间距离不变，Isomap 算法引进了邻域图，样本只与其相邻的样本连接，他们之间的距离可直接计算，较远的点可通过最小路径算出距离，在此基础上进行降维保距。在近邻连接图上计算两点间的最短路径，可采用著名的Dikstra算法或Floyd 算法，在得到任意两点的距离之后，就可通过 MDS 方法来获得样本点在低维空间中的坐标.

Isomap算法描述

　　　　

　　tips：构建邻接图，有两种方法，第一种指定半径阈值，半径内地点为邻近点，第二种为K近邻，在邻近点之间基于欧式距离构建一个邻接图

　　Isomap 最主要的优点就是使用“测地距离”，而不是使用原始的欧几里得距离，这样可以更好的控制数据信息的流失，能够在低维空间中更加全面的将高维空间的数据表现出来。

代码

#最小路径这里采用Floyd算法：输入邻接矩阵，邻接矩阵中，除了邻域点之外，其余距离都是无穷大，输出完整的距离矩阵。
def floyd(D,n_neighbors=15):
    Max=numpy.max(D)*1000
    n1,n2=D.shape
    k=n_neighbors
    D1=numpy.ones((n1,n1))*Max
    D_arg=numpy.argsort(D,axis=1)
    for i in range(n1):
        D1[i,D_arg[i,0:k+1]]=D[i,D_arg[i,0:k+1]]
    for k in xrange(n1):
        for i in xrange(n1):
            for j in xrange(n1):
                if D1[i,k]+D1[k,j]<D1[i,j]:
                    D1[i,j]=D1[i,k]+D1[k,j]
    return D1
#其余是MDS的算法：
def calculate_distance(x,y):
    d=numpy.sqrt(numpy.sum((x-y)**2))
    return d
def calculate_distance_matrix(x,y):
    d=metrics.pairwise_distances(x,y)
    return d
def cal_B(D):
    (n1,n2)=D.shape
    DD=numpy.square(D)
    Di=numpy.sum(DD,axis=1)/n1
    Dj=numpy.sum(DD,axis=0)/n1
    Dij=numpy.sum(DD)/(n1**2)
    B=numpy.zeros((n1,n1))
    for i in xrange(n1):
        for j in xrange(n2):
            B[i,j]=(Dij+DD[i,j]-Di[i]-Dj[j])/(-2)
    return B
    
 
def MDS(data,n=2):
    D=calculate_distance_matrix(data,data)
    B=cal_B(D)
    Be,Bv=numpy.linalg.eigh(B)
    Be_sort=numpy.argsort(-Be)
    Be=Be[Be_sort]
    Bv=Bv[:,Be_sort]
    Bez=numpy.diag(Be[0:n])
    Bvz=Bv[:,0:n]
    Z=numpy.dot(numpy.sqrt(Bez),Bvz.T).T
    return Z
#合成Isomap算法：
def Isomap(data,n=2,n_neighbors=30):
    D=calculate_distance_matrix(data,data)
    D_floyd=floyd(D)
    B=cal_B(D_floyd)
    Be,Bv=numpy.linalg.eigh(B)
    Be_sort=numpy.argsort(-Be)
    Be=Be[Be_sort]
    Bv=Bv[:,Be_sort]
    Bez=numpy.diag(Be[0:n])
    Bvz=Bv[:,0:n]
    Z=numpy.dot(numpy.sqrt(Bez),Bvz.T).T
    return Z
#生成数据集：
def generate_curve_data():
    xx,target=datasets.samples_generator.make_s_curve(400, random_state=9)
    return xx,target
#调用函数：
if __name__=='__main__':
    data,target=generate_curve_data()
    Z_Isomap=Isomap(data,n=2)
    Z_MDS=MDS(data)
    figure=pyplot.figure()
    pyplot.suptitle('ISOMAP COMPARE TO MDS')
    pyplot.subplot(1,2,1)
    pyplot.title('ISOMAP')
    pyplot.scatter(Z_Isomap[:,0],Z_Isomap[:,1],c=target,s=60)
    pyplot.subplot(1,2,2)
    pyplot.title('MDS')
    pyplot.scatter(Z_MDS[:,0],Z_MDS[:,1],c=target,s=60)
    pyplot.show()