可逆矩阵

可逆矩阵

　　矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶矩阵 $B$，使得矩阵 $A、B$ 的乘积为单位阵，则称 $A$ 为可逆阵，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

定义

　　设  $P$  是数域， $A \in P^{n \times n}$ , 若存在  $B \in P^{n \times n}$ , 使得  $A B=B A=E$, $E$  为单位阵, 则称  $A$  为可逆阵，  $B$  为  $A$  的逆矩 阵, 记为  $B=A^{-1}$  。若方阵  $A$  的逆阵存在，则称  $A $ 为可逆矩阵或非奇异矩阵。

性质

• 若 $A$ 为可逆矩阵，则 $A$ 的逆矩阵是唯一的。
• 设 $ A 、 B$ 是数域 $ P$ 上的 $ n$ 阶矩阵， $ k \in P_{\circ} $
• 若 $ A$ 可逆，则 $ A^{-1}$ 和 $ A^{T}$ 也可逆，且 $ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A, \quad\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$ ;
• 若 $ A$ 可逆，则 $ k A$ 可逆 $ \Leftrightarrow k \neq 0 $，且 $ (k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$ ;
• $ A 、 B$ 均可逆 $ \Leftrightarrow(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ 。

常用方法

(1) 判断或证明 $A$ 可逆的常用方法:

• 证明 $ |A| \neq 0$ ;
• 找一个同阶矩阵 $ B$ ，验证 $ A B=B A=E$ ;
• 证明 $ A$ 的行向量 (或列向量) 线性无关。

(2) 求 $ A^{-1}$ 的方法:

• 公式法: $ A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*} $, 其中 $ A^{*} $ 为矩阵 $ A$ 的伴随矩阵。
• 初等变换法：对 $ (A \quad E)$ 作初等变换，将 $ A$ 化为单位阵 $ E$ , 单位矩阵 $ E$ 就化为 $ A^{-1}$ 。