损失函数

1 损失函数、代价函数 与 目标函数

　　损失函数（Loss Function）：是定义在单个样本上的，是指一个样本的误差。
　　代价函数（Cost Function）：是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是所有损失函数值的平均。
　　目标函数（Object Function）：是指最终需要优化的函数，一般来说是经验风险+结构风险，也就是（代价函数+正则化项）。
　　损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。
　　损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。
　　• 损失函数：一次预测的好坏；
　　• 风险函数：平均意义下模型预测的好坏；
　　常见的损失函数以及其优缺点如下：

2 损失函数  

2.1 0-1损失函数

　　0-1 损失是指预测值和目标值不相等为 1， 否则为 0。
　　　　$L(Y, f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1, Y \neq f(X) \\ 0, Y=f(X) \end{array}\right.$
　　特点：

1. 0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用；
2. 感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足 $| Y - f(x) | < T$ 时认为相等，

　　　　$L(Y, f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1,|Y-f(X)| \geq T \\ 0,|Y=f(X)|<T \end{array}\right.$

2.2 平方损失函数

　　平方损失函数标准形式如下：
　　　　$L(Y, f(X))=(Y-f(X))^{2}$

2.3 绝对损失函数

　　绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：
　　　　$L(Y, f(x))=|Y-f(x)|$

2.4 对数损失函数

　　log对数损失函数的标准形式如下：
　　　　$L(Y, P(Y \mid X))=-\log P(Y \mid X)=-\frac{1}{N} \sum \limits_{i=1}^{N} \sum \limits_{j=1}^{M} y_{i j} \log \left(p_{ij}\right)$
　　特点：

1. log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合；
2. 健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感；
3. 逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

2.5 指数损失函数

　　指数损失函数的标准形式如下：
　　　　$L(Y \mid f(X))=\exp [-y f(x)]$
　　特点：
　　对离群点、噪声非常敏感。经常用在AdaBoost算法中。

2.6 Hinge 损失函数

　　Hinge 损失函数标准形式如下：
　　　　$L(y, f(x))=\max (0,1-y f(x))$
　　特点：

1. hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为 $0$，否则损失就为 $ 1 - yf(x)$ 。SVM 就是使用这个损失函数。
2. 一般的 $f(x)$ 是预测值，在 $-1$ 到 $1$ 之间，$y$ 是目标值 $(-1或1)$ 。其含义是，$ f(x)$ 的值在 $-1$ 和 $+1$ 之间就可以了，并不鼓励 $ |f(x)|>1 $，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过 $1$ 并不会有任何奖励，从而使分 类器可以更专注于整体的误差。
3. 健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。

2.7 感知损失函数

　　感知损失函数的标准形式如下：
　　　　$L(y, f(x))=\max (0,-f(x))$
　　特点：
　　是Hinge损失函数的一个变种，Hinge loss对判定边界附近的点(正确端)惩罚力度很高。而perceptron loss只要样本的判定类别正确的话，它就满意，不管其判定边界的距离。它比Hinge loss简单，因为不是max-margin boundary，所以模型的泛化能力没 hinge loss强。

2.8 交叉熵损失函数

　　交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)
　　交叉熵损失函数的标准形式如下:
　　　　$C=-\frac{1}{n} \sum \limits_{x}[y \ln a+(1-y) \ln (1-a)]$
　　注意公式中 $x$ 表示样本， $y$ 表示实际的标签， $a$ 表示预测的输出，$n$ 表示样本总数量。
　　特点：
　　1> 本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。
　　二分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：
　　　　$\operatorname{los} s=-\frac{1}{n} \sum \limits_{x}[y \ln a+(1-y) \ln (1-a)]$
　　多分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：
　　　　$\operatorname{loss}=-\frac{1}{n} \sum \limits_{i} y_{i} \ln a_{i}$
　　2> 当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。

3 常用的代价函数

3.1 均方误差（Mean Squared Error）

　　　　$M S E=\frac{1}{N} \sum \limits _{i=1}^{N}\left(y^{(i)}-f\left(x^{(i)}\right)\right)^{2}$
　　均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值; MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。（ $i$ 表示第 $i$ 个样本，$N$ 表示样本总数）,通常用来做回归问题的代价函数。

3.2 均方根误差

　　　　$R M S E=\sqrt{\frac{1}{N} \sum \limits _{i=1}^{N}\left(y^{(i)}-f\left(x^{(i)}\right)\right)^{2}}$
　　均方根误差是均方误差的算术平方根，能够直观观测预测值与实际值的离散程度。
　　通常用来作为回归算法的性能指标。

3.3 平均绝对误差（Mean Absolute Error）

　　　　$M A E=\frac{1}{N} \sum \limits _{i=1}^{N}\left|y^{(i)}-f\left(x^{(i)}\right)\right|$
　　平均绝对误差是绝对误差的平均值 ，平均绝对误差能更好地反映预测值误差的实际情况。
　　通常用来作为回归算法的性能指标。

3.4 交叉熵代价函数（Cross Entry）

　　　　$H(p, q)=-\sum_{i=1}^{N} p\left(x^{(i)}\right) \log q\left(x^{(-i)}\right)$
　　交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况，减少交叉熵损失就是在提高模型的预测准确率。其中 $p(x)$ 是指真实分布的概率，$ q(x)$ 是模型通过数据计算出来的概率估计。
　　比如对于二分类模型的交叉熵代价函数（可参考逻辑回归一节）：
　　　　$L(w, b)=-\frac{1}{N} \sum \limits _{i=1}^{N}\left(y^{(i)} \log f\left(x^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-f\left(x^{(i)}\right)\right)\right)$
　　其中 $f(x) $ 可以是sigmoid函数。或深度学习中的其它激活函数。而 $y^{(i)} \in 0,1 $ 。 通常用做分类问题的代价函数。