线性代数——特征值

一、特征值和特征向量的定义
　　定义1：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $x$，使得 $Ax =\lambda x \quad (x≠0)$ 则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$x$ 为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
　　特征子空间基本定义，如下：
　　由 $Ax =\lambda x \quad (x≠0)$
　　　　$\Rightarrow (A-\lambda E)x=0$
　　或$(\lambda E-A)x=0$
　　　　$|\lambda E-A|=0$
　　　　$(*\lambda )$
　　而 $x≠0$，即齐次线性方程组 $(*_\lambda )$ 有非零解
　　　　$\Longleftrightarrow |A-\lambda E|=0$
　　方程组 $(*_\lambda )$ 的解空间称为对应于入的特征子空间。
二、特征多项式
　　特征多项式的定义，如下：
　　定义2：设
　　　　$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{11} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}$
　　则称
　　　　$|A-\lambda E|=\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda & a_{11} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn-\lambda}\end{pmatrix}$
　　为矩阵A的特征多项式,记作$f(\lambda)$
　　推论：n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 的 n 个特征值非 0，如下：
　　　　$f(\lambda )=|A-\lambda E|=(-\lambda )^{n}+(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})(-\lambda )^{n-1}+...+det(A)$
　　设 $f((\lambda)=0$ 在复数范围内 n个根为 $\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n$ 即 A 的 n 个特征值则
　　　　$\left\{\begin{matrix} \lambda _1+\lambda _2+...,\lambda _n= a_{11}+a_{22}+...,a_{nn} \\ \lambda _1\lambda _2...\lambda _n=det(A)\end{matrix}\right.$
　　推论 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 的 n 个特征值非零。
三、特征值的基本性质
　　需要我们牢记的特征值的基本性质如下所示：
　　性质：若 $\lambda$是 A 的特征值，即 $Ax=\lambda x \quad (x \ne 0)$，则
　　(1)$k\lambda $ 是 $kA$ 的特征值 (k是常数)，且 $kAx=k\lambda x $
　　(2)$\lambda ^{m}$ 是 $A^{m}$ 的特征值 (m是正整数)，且$ A^{m}x=\lambda ^{m}x$
　　(3)若 A 可逆，则 $\lambda ^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值，且$A^{-1}x=\lambda ^{-1}x$
　　　　$\lambda ^{-1}|A|$是 $A^{*}$ 的特征值，且 $A^{*}x=\lambda ^{-1}|A|x$
　　(4) $\varphi (x)$ 为 $x$ 的多项式，则 $\varphi (\lambda )$ 是 $\varphi (A)$ 的特征值，且$\varphi (A)x=\varphi (\lambda )x$
　　(5)矩阵 $A$ 和 $A^{T}$ 的特征值相同，特征多项式相同。
四、经典例题
　　(1) 求解特征值，如下：
　　例3:
　　(1)设 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，求 $A^2+2A+3E$ 的特征值
　　(2)若 3 阶阵 $A$ 有特征值 1，-1，2，求 $|A^*+3A-2E|$ 。
　　解:
　　(1)$A^2+2A+3E$ 有特征值 $\lambda ^2+2\lambda+3$
　　(2)3 阶阵 $A$ 有特征值 1，-1，2，故 $|A|=-2$，$A$ 可逆。
　　$A^*+3A-2E$ 有特征值-1，-3，3
　　$|A^*+3A-2E|$
　　(2)思考题，求特征值：
　　思考题
　　设 4 阶方阵 $A$ 满足条件: $|3E+A|=0\ ， \ AA^T=2E\ ， \ |A|<0$，求 $A$ 的一个特征值.
　　解因为 $|A|<0$，故 $A$ 可逆由 $|A+3E|= 0$ 知 $-3$ 是 $A$ 的一个特征值，又由 $AA^T=2E$ 得 $|AA^T|=|2E|=16$$，即
　　$|A|^2=16$，于是 $|A|=+4$ 或 $|A|=-4$ ，由于 $|A|<0$ ，因此 $|A|=-4$，故 $A^*$ 有一个特征值为 ${\large \frac{4}{3} } $。
　　(3) 矩阵特征值一般求解方法，如下：
　　例6: 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right) $的特征值和特征向量。
　　解：1、由矩阵 A 的特征方程, 求出特征值。
　　　　$\begin{aligned}|A-\lambda E| &=\left|\begin{array}{ccc}-1-\lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 1 \\ -4 & 3-\lambda\end{array}\right| \\ &=(2-\lambda)(\lambda-1)^{2}=0 \end{aligned}$
　　特征值为 $\lambda=2,1 $
　　2、把每个特征值 $ \lambda$ 代入线性方程组 $ (A-\lambda E) x=0$ ，求出基础解系。
　　当 $\lambda=2$ 时, 解线性方程组 $(\boldsymbol{A}-\mathbf{2} \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} $
　　　　$(A-2 E)=\left(\begin{array}{ccc} -3 & 1 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
　　　　$\left\{\begin{array}{l}x_{1}=0 \\ x_{2}=0\end{array} \quad\right.$
　　得基础解系：
　　　　$ p_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) $
　　当 $\lambda=1$ 时, 解线性方程组 $ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} $
　　　　$(A-E)=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
　　　　$ \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{3}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}=0\end{array} \quad\right. $
　　得基础解系
　　　　$p_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) $
五、概括总结求解思路
　　特征值得求解过程，如下：
　　(1)计 算 特 征 多 项 式 $ |A-\lambda E| $;
　　(2)求 $|A-\lambda E|=0$ 的 所有 根，即 $A $ 的所有特征值;
　　(3)对 每个特 征值 $\lambda_{0}$ , 求 解 齐 次 线 性 方 程 组 $ \left(A-\lambda_{0} E\right) x=0 $ 的 一 个 基 础 解 系 $ \xi_{1}, \mathrm{~L}, \xi_{t}$ ，则 $x=k_{1} \xi_{1}+\mathrm{L}+k_{t} \xi_{t}$ 为 $A$ 对 应于 $\lambda_{0}$ 的 全 部 特 征 向 量 $\left(k_{1}, \mathrm{~L}, k_{t}\right.$ 不 全 为 $0$ ) 。
六、回顾总结
　　解下面例题：
　　例7: 求矩阵 $ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-\mathbf{2} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{2} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{4} & \mathbf{1} & \mathbf{3}\end{array}\right) $ 的特征值和特征向量，并求可逆矩阵 $P$ , 使 $P^{-1} A P$ 为对角阵.
　　解：
　　　　$|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{ccc} -\mathbf{2}-\boldsymbol{\lambda} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{2}-\boldsymbol{\lambda} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{4} & \mathbf{1} & \mathbf{3}-\boldsymbol{\lambda} \end{array}\right|=-(\lambda-\mathbf{2})^{2}(\boldsymbol{\lambda}+\mathbf{1})$
　　特征值为 $\lambda=-1,2 $
　　例题详解：
　　当 $\lambda=-1 $ 时, 解线性方程组 $ (A+E) x=0 $
　　　　$(A+E)=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -4 & 1 & 4 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
　　　　$\left\{\begin{array}{c}x_{1}-x_{3}=0 \\ x_{2}=0\end{array}\right. $
　　得基础解系:
　　　　$p_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) $
　　当 $\lambda=-1$ 时, 解线性方程组 $(A+E) x=0 $
　　　　$(A+E)=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -4 & 1 & 4 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
　　　　$\left\{\begin{array}{c}x_{1}-x_{3}=0 \\ x_{2}=0\end{array} \quad\right. $
　　得基础解系:
　　　　$p_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) $
　　当 $\lambda=2$ 时, 解线性方程组 $ (\boldsymbol{A}-\mathbf{2} \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} $
　　　　$(A-2 E)=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} -4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
　　　　$-4 x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 $
　　得基础解素:
　　　　$ p_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \quad p_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) $
　　设
　　　　$\boldsymbol{P}=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{array}\right)$
　　则
　　　　$P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll} -1 & & \\ & 2 & \\ & & 2 \end{array}\right)$
　　问题：矩阵 $P$ 是否唯一？ 矩阵 $\Lambda$ 是否唯一?
　　注： 矩阵 $P$ 的列向量应和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应.
　　归纳，得出以下定理：
　　定理2: 设 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m} $ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个特征值， $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{m} $ 依次是与之对应的特征向量。若 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m} $ 各不相等, 则 $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{m} $线性无关。
　　注:
　　对应不同特征值的特征向量线性无关。
https://jingyan.baidu.com/article/27fa7326afb4c146f8271ff3.html