扩展欧几里得算法求二元一次方程

二元一次方程的定义：

    含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程做二元一次方程。所有二元一次方程都可化为ax+by+c=0（a、b≠0）的一般式与ax+by=c（a、b≠0）的标准式，否则不为二元一次方程。

求最大公约数

int  gcd(int a,int b)//a,b为两个数。
{
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

拓展欧几里得算法

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else{
        int r=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
        return r;
    }
}

求一组特解代码：

 if(n%__gcd(a,b) == 0){ //第一步判断方程是否有整数解
      exgcd(a,b,x,y);//第二步求方程 ax+by=gcd(a,b) 的一个特解
      x = x*n/__gcd(a,b); //第三步计算 ax+by=n 的解
      y = y*n/__gcd(a,b);
      cout<<x<<" "<<y<<endl;
}

求通解

现在我们来考虑构造通解( 特解是X、Y )：

由于已经满足  , 两个未知数的关系类似于加权和固定，若一个增大，则另一个一定按比例减小，显然满足关系：

X 每变化 b 的整数倍，Y 就反向变化 a 的同等倍数。似乎构造出了通解表达式  、 。

但是我们会发现一个问题，就是 a 、b 不一定是最小的步长，可能会 “跳过” 许多解。

为了求得最小步长，我们应该对 a 、b 同时除以某个整数，使得商也是整数，就求出了每次最小的变化量。很明显，应除以

所以，通解应该是

 

举例：（待修改）

    for(int i=0;i<=1000;i++){
        int newx = x+i*b/__gcd(a,b);
        int newy = y-i*a/__gcd(a,b);
        if(newx>=0&&newy>=0){
            cout<<"newx= "<<newx<<"     newy="<<newy<<endl;
        }
    }

 参考：

https://blog.csdn.net/weixin_43810158/article/details/87973511

https://blog.csdn.net/Originum/article/details/81437027