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1111. 有效括号的嵌套深度

有效括号字符串 定义：对于每个左括号，都能找到与之对应的右括号，反之亦然。详情参见题末「有效括号字符串」部分。

嵌套深度 depth 定义：即有效括号字符串嵌套的层数，depth(A) 表示有效括号字符串 A 的嵌套深度。详情参见题末「嵌套深度」部分。

有效括号字符串类型与对应的嵌套深度计算方法如下图所示：

 

给你一个「有效括号字符串」 seq，请你将其分成两个不相交的有效括号字符串，A 和 B，并使这两个字符串的深度最小。

不相交：每个 seq[i] 只能分给 A 和 B 二者中的一个，不能既属于 A 也属于 B 。
A 或 B 中的元素在原字符串中可以不连续。
A.length + B.length = seq.length
深度最小：max(depth(A), depth(B)) 的可能取值最小。 
划分方案用一个长度为 seq.length 的答案数组 answer 表示，编码规则如下：

answer[i] = 0，seq[i] 分给 A 。
answer[i] = 1，seq[i] 分给 B 。
如果存在多个满足要求的答案，只需返回其中任意 一个 即可。

示例 1：

　　输入：seq = "(()())"
　　输出：[0,1,1,1,1,0]
示例 2：

　　输入：seq = "()(())()"
　　输出：[0,0,0,1,1,0,1,1]
解释：本示例答案不唯一。
按此输出 A = "()()", B = "()()", max(depth(A), depth(B)) = 1，它们的深度最小。
像 [1,1,1,0,0,1,1,1]，也是正确结果，其中 A = "()()()", B = "()", max(depth(A), depth(B)) = 1 。
 

方法一：用栈进行括号匹配思路及算法

要求划分出使得最大嵌套深度最小的分组，我们首先得知道如何计算嵌套深度。我们可以通过栈实现括号匹配来计算：

维护一个栈 s，从左至右遍历括号字符串中的每一个字符：

如果当前字符是 (，就把 ( 压入栈中，此时这个 ( 的嵌套深度为栈的高度；

如果当前字符是 )，此时这个 ) 的嵌套深度为栈的高度，随后再从栈中弹出一个 (。

下面给出了括号序列 (()(())()) 在每一个字符处的嵌套深度：

知道如何计算嵌套深度，问题就很简单了：只要在遍历过程中，我们保证栈内一半的括号属于序列 A，一半的括号属于序列 B，那么就能保证拆分后最大的嵌套深度最小，是当前最大嵌套深度的一半。要实现这样的对半分配，我们只需要把奇数层的 ( 分配给 A，偶数层的 ( 分配给 B 即可。对于上面的例子，我们将嵌套深度为 1 和 3 的所有括号 (()) 分配给 A，嵌套深度为 2 的所有括号 ()()() 分配给 B。

此外，由于在这个问题中，栈中只会存放 (，因此我们不需要维护一个真正的栈，只需要用一个变量模拟记录栈的大小。

代码：

class Solution{
public:
    vector<int >maxDepthAfterSplit(string seq){
        int depth=0,len=seq.length();
        vector<int >ans;
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
             if (seq[i] == '(') {
                ans.push_back((++depth)&1);
            } else {
                ans.push_back((depth--)&1);
            }
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 为字符串的长度。我们只需要遍历括号字符串一次。

空间复杂度：O(1)。除答案数组外，我们只需要常数个变量。

方法二：找规律

思路及算法

我们还是使用上面的例子 (()(())())，但这里我们把 ( 和 ) 的嵌套深度分成两行：

有没有发现什么规律？

左括号 ( 的下标编号与嵌套深度的奇偶性相反，也就是说：

下标编号为奇数的 (，其嵌套深度为偶数，分配给 B；

下标编号为偶数的 (，其嵌套深度为奇数，分配给 A。

右括号 ) 的下标编号与嵌套深度的奇偶性相同，也就是说：

下标编号为奇数的 )，其嵌套深度为奇数，分配给 A；

下标编号为偶数的 )，其嵌套深度为偶数，分配给 B。

这样以来，我们只需要根据每个位置是哪一种括号以及该位置的下标编号，就能确定将对应的对应的括号分到哪个组了。

对此规律感兴趣的同学的同学可以阅读下面的证明部分，若不感兴趣，可以直接跳到代码部分。

证明

对于字符串中的任意一个左括号 (，它的下标编号为 x，嵌套深度为 y。如果它之有 l 个左括号和 r 个右括号，那么根据嵌套深度的定义，有：

y = l - r + 1
y=l−r+1

下标编号与 l 和 r 的关系也可以直接得到，注意下标编号从 0 开始：

x = l + r
x=l+r

由于 l - r和 l + r 同奇偶，因此 l - r + 1（即 y）和 l + r（即 x）的奇偶性相反。

对于字符串中的任意一个右括号 )，它的下标编号为 x，嵌套深度为 y。如果它之有 l 个左括号和 r 个右括号，那么根据嵌套深度的定义，有：

y = l - r
y=l−r

下标编号与 l 和 r 的关系也可以直接得到，注意下标编号从 0 开始：

x = l + r
x=l+r

因此 y 和 x 的奇偶性相同。

class Solution {
public:
    vector<int> maxDepthAfterSplit(string seq) {
        vector<int> ans;
        for (int i = 0; i < (int)seq.size(); ++i) {
            ans.push_back(i & 1 ^ (seq[i] == '('));
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 为字符串的长度。我们只需要遍历括号字符串一次。

空间复杂度：O(1)。除答案数组外，我们只需要常数个变量。