图论----基础知识

1. 什么是图

图论（graph theory） 是数学的一个分支，它以 图 为研究的对象。

图论本身是应用数学的一部分，历史上图论曾经被很多数学家各自独立建立过。关于图论的最早文字记载最早出现在欧拉 1736 年的论著中，也就是著名的柯尼斯堡（Konigsberg）问题（七桥问题）。

2. 图的定义

一个图G是一个二元组，即序偶<V,E>，或记作G=<V,E> ，其中V是有限非空集合，称为G的顶点集,V中的元素称为顶点或结点；E称为 G的边的集合，所有的边ei都属于E，都有v中的结点与之对应，称ei为 G的边。

3. 图的基本概念

l  无向图：每条边都是无向边的图。

l  有向图：每条边都是有向边的图。

l  混合图：在一个图中，有些边是有向边，另一些边是无向边，则该图为混合图。

l  有限图：一个图的点集和边集都是有穷集的图。

l  零图：边集为空集的图。

l  平凡图：仅有一个结点而没有边构成的图。

l  关联：若有ei=(u,v) 且ei属于E ，则称u是和v相关联的。

l  孤立点：无边关联的点。

l  自环：若一条边所关联的两个结点重合，则称此边为自环。

l  邻接：关联于同一条边的两个点  和  称为邻接的；关联于同一个点的两条边  和  是邻接的（或相邻的）。

l  路径:图G=(V，E)中，若存在顶点序列vi0, vi1, …, vin，使得(vi0, vi1)，( vi1, vi2)，…， (vin-1, vin)都在E 中(若是有向图，则使得<vi0, vi1>，< vi1, vi2>，…，<vin-1, vin>都在E中)，则称从顶点vi0到vin存在一条路径。

l  路径长度：路径上的边数。

l  简单路径：若路径上的顶点除vi0和vin可以相同外，其它顶点都不相同。

l 回路或环：起点和终点相同的简单路径。

l 根：有向图中，若存在一顶点v，从该顶点有路径可以 到图中其它所有顶点，则称此有向图为有根图，v 称为图的根。

l 完全图：若图中各个顶点都与除自身外的其他顶点有关系，这样的无向图称为完全图（如图 4a)）。同时，满足此条件的有向图则称为有向完全图（图 4b)）。

 

 具有 n 个顶点的完全图，图中边的数量为 n(n-1)/2；而对于具有 n 个顶点的有向完全图，图中弧的数量为 n(n-1)。

l 稀疏图和稠密图：这两种图是相对存在的，即如果图中具有很少的边（或弧），此图就称为"稀疏图"；反之，则称此图为"稠密图"。

稀疏和稠密的判断条件是：e<nlogn，其中 e 表示图中边（或弧）的数量，n 表示图中顶点的数量。如果式子成立，则为稀疏图；反之为稠密图。

无向图

l 连通：无向图G=(V，E)中，若从vi到vj有一条路径 (从vj到vi也一定有一条路径)，则称vi和vj是连通。

l 连通图：若V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj都是连通的(即有路径)，则称G为连通图。

 

 

 　　　　　　连通图

l 连通分量：无向图G中的最大连通子图称为G的连通分量。

l 最大连通子图：任意增加结点或边以后得到的子图 均不连通。

有向图

 l 强连通图：有向图G=(V，E)中，若V(G)中任意 两个不同的顶点vi和vj都存在从vi到vj以及从vj和vi 的路径，则称图G是强连通图。

 

                  强连通图

l 强连通分量：有向图的最大强连通子图称为图的强连通分量 强连通图只有一个强连通分量，就是其自身 非强连通的有向图有多个强连通分量

l 网络：若图的每条边都赋上一个权，则称为带权图 带权的连通图称为网络。

4.两个定理：

如图中，边数为6，度数之和(3+3+3+3)

l  推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。

l  推论：即所有点入度之和等于出度之和。

（这个比较好理解，就如同问世界上的上坡多还是下坡多一样，答案是一样多）

由上面的概念可知，树或者是森林，就是一种特殊的图。

5.图的存储：

邻接矩阵表示法

邻接表表示法

邻接多重表表示法

图的十字链表等

邻接矩阵表示法

邻接矩阵是表示顶点间相邻关系的矩阵 设G=(V，E)为具有n个顶点的图，其邻接矩阵为 具有以下性质的n阶方阵

邻接矩阵的英文名是 adjacency matrix。它的形式是 bool adj[n][n]，这里面n是节点个数，adj[i][j]表示i和j之间是否有边。

如果边有权值，也可以直接用 int adj[n][n] ，直接把边权存进去。

它的优点是可以在O(1)时间内得到一条边是否存在，缺点是需要占用O(n^2)的空间。对于一个稀疏的图（边相对于点数的平方比较少）来说，用邻接矩阵来存储的话，成本偏高。

其代码可以表示为（假设各边长度均为1）：

#include<iostream>
  
using namespace std;
  
const int maxn=105;
int adj[maxn][maxn]={0};    //定义邻接矩阵
  
int x,y;    //输入两条边
int n,m;    //供输入n对边 ,m个顶点 (x,y <= m) 
  
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>x>>y;
        adj[x-1][y-1]=1;
        adj[y-1][x-1]=1;
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            cout<<adj[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

如果G是带权的图，wij是边(vi,vj)或< vi,vj>的权， 则其邻接矩阵定义为∶