子集选择与评价
缓解维度灾难的另一种重要方法是进行特征筛选，同时它也能降低学习任务的难度，只留下关键特征。
对当前学习任务有用的属性称为“相关特征”，而对当前学习任务没有用的属性称为“无关特征”，包含信息能被其他特征表示的属性称为“冗余特征”。
如果想要从原始特征集中选择出一个子集，那么就是一个特征选择问题。特征选择通常包含以下两个环节
常见的特征选择方法有：过滤法、包裹法、嵌入法
过滤法
先对数据集进行特征选择，再用特征子集训练模型，特征选择过程与学习过程无关
著名的算法有：Relief、Relief-F
Relief 设计了一个相关统计量用于度量特征的重要性
相关统计量：对于每一个样本点\(x_i\)，寻找与其最近邻的样本点\(x_{i,nh}\)（同类）和\(x_{i,nm}\)（异类），于是我们可以定义如下的相关统计量
\[\delta^j = \sum_{i=1}^m - \text{diff}(x_{i,j}, x_{i,nh,j})^2 + \text{diff}(x_{i,j}, x_{i,nm,j})^2
\]
那么最终得到的一个统计量向量越大，说明子集选择的越好，分类性能越强
包裹法
直接利用学习器的性能来评价特征子集的好坏，通常效果更好，但计算开销也更大
著名的算法有：LVW 框架，在特征选择的过程中使用了随机算法
嵌入法
将特征选择过程与学习过程融为一体，直接在学习器上进行特征选择
著名的算法有： L1 正则化、L2 正则化
对于线性回归算法，我们通常认为有这样一条直线可以拟合数据
\[Y = XW
\]
当\(X\)不可逆时，我们使用最小二乘法，即
\[\min \| Y - XW \|_2^2
\]
\[W = (X^T X)^{-1} X^T Y
\]
当\(X\)列不满秩时，即\(X^T X\)不可逆，即样本特征多于样本数，此时我们可以使用正则化
\[\min \| Y - XW \|_2^2 + \lambda \| W \|_2^2
\]
\[W = (X^T X + \lambda I)^{-1} X^T Y
\]
保证了\(X^T X + \lambda I\)可逆，从而解决了多重共线性问题
这是一种罚函数法，即在目标函数中加入了一个罚函数，使得优化问题变得更加复杂
最直观的罚函数是 L0 范数，即非零元素的个数，但是 L0 范数是一个非凸函数，所以我们通常使用 L1 范数，L1 通常能获得稀疏解，即有些特征的权重为 0
因此可以说，L1 正则化是一种特征选择方法
L1 正则化的求解方法
可以使用近端梯度下降法（Proximal Gradient Descent），对于优化目标
\[\min_x f(x) + \lambda \| x \|_1
\]
如果满足 Lipschitz 连续梯度条件，希望\(\nabla f\)不要变化太快，即
\[\exist L > 0, \quad \| \nabla f(x) - \nabla f(y) \|_2 \leq L \| x - y \|_2, \quad \forall x, y \\
\iff \frac{\| \nabla f(x) - \nabla f(y) \|}{\| x - y \|} \leq L \\
\Rightarrow \nabla^2 f(x) \preceq L
\]
那么在\(x_k\)处对目标函数进行二阶泰勒展开，有
\[f(x) \approx f(x_k) + \nabla f(x_k)^T (x - x_k) + \frac{L}{2} \| x - x_k \|_2^2 \\
= \frac{L}{2} \| x - (x_k - \frac{1}{L} \nabla f(x_k)) \|_2^2 + \text{const}
\]
那么我们可以得到
\[x_{k+1} = \arg \min_x \frac{L}{2} \| x - (x_k - \frac{1}{L} \nabla f(x_k)) \|_2^2 \\
\Rightarrow x_{k+1} = x_k - \frac{1}{L} \nabla f(x_k)
\]
最小值可以通过如上的迭代方式求解，即梯度下降法是对 二次拟合函数的近似
那么应用到 L1 正则化的问题上，我们可以得到
\[x_{k+1} = \arg \min_x f(x_k) + \nabla f(x_k)^T (x - x) + \frac{L}{2} \| x - x_k \|_2^2 + \lambda \| x \|_1 \\
\Rightarrow x_{k+1} = \arg \min_x \frac{L}{2} \| x - (x_k - \frac{1}{L} \nabla f(x_k)) \|_2^2 + \lambda \| x \|_1
\]
这个问题不存在交叉项，因此可以使用坐标轴下降法（Coordinate Descent）求解，即
\[x_i^{(k+1)} = \arg \min_{x_i} \frac{L}{2} (x_i - z_i^{k})^2 + \lambda |x_i|
\]
求导数，令导数为 0，即可得到
\[x_i^{(k+1)} = \begin{cases}
z_i^{(k)} - \frac{\lambda}{L}, & z_i^{(k)} > \frac{\lambda}{L} \\
0, & |z_i^{(k)}| \leq \frac{\lambda}{L} \\
z_i^{(k)} + \frac{\lambda}{L}, & z_i^{(k)} < -\frac{\lambda}{L}
\end{cases}
\]
L1 正则化的求解方法
字典学习与稀疏表示
学习到整个数据矩阵的稀疏性
\[\min{B, \alpha_i} \sum_{i=1}^m \| x_i - B \alpha_i \|_2^2 + \lambda \| \alpha_i \|_1 \\
\iff \min_{B, A} \| X - BA \|_F^2 + \lambda \| A \|_1
\]
可以使用 PGD 类似的思想交替优化\(B, A\)
\[\min_{\alpha_i} \| x_i - B \alpha_i \|_2^2 + \lambda \| \alpha_i \|_1
\]
\[\min_B \| X - BA \|_F^2
\]
这个问题可以通过 SVD 分解求解，即每一步固定其他\(B\)中的列，求解\(B\)中的一列，\(\min_{b_i} \| E_i - b_i\alpha^i \|_F^2\)
