ch3 不确定性和风险

重点

• 阿莱悖论(独立性)
• 冯诺依曼公式

关键

了解奈特关于不确定性的研究及其基本结论；
了解行为经济学对时间不确定性的分析，知道“双曲贴现”的概念并运用该理论解释相关的经济现象；
熟悉期望效用理论，并能运用期望效用函数测度风险，
掌握风险升水等重要概念。

不确定性

• 可能来源于内生性：与人有关的因素
• 外生性： 与人无关的环境因素

双曲线贴现：

与强化学习中的奖励(Reward)和回报(Return)类似

\[R = \sum_{t=0}^T \gamma^t \cdot \text{reward} \]

定义：人们在小的盈利相对于大的盈利来得快的情况下会偏好小的盈利,在大小盈利的实现时间都很长且两个时间相近的情况下,人们又会偏好大的盈利的趋向

结论：贴现率随着时间显著的下降，但是未来的偏好却总是根据不断变化的现在的时点。个体依采用的贴现率在两期之间作权衡，贴现率低就偏爱近期；贴现率高则偏爱远期

不确定性与期望效用理论(如何应对不确定性)

期望效用理论

不确定性的度量：期望效用理论(EU)

如果知道对时间的时候概率的排序，并以此作为事前决策的依据的过程

• 不确定
• 事后概率已知

单赌

对事件的 n 种可能的结果乘以对应的概率

\[G_s = \{ (p_1a_1, \dots, p_na_n) \} \]

复赌

将奖品本身又进行赌博本身的赌博。

• 赌徒在赌场能用 100 元赢得 100 万的概率有多少

风险与不确定

不确定性（uncertainty）：不确定性是指不能肯定某种事件是否会发生，也不知道其发生的概率。

风险（risk）：风险则指虽然不能肯定某种事件是否会发生，但知道其发生的概率

联想：统计学习借用的期望风险和经验风险函数

冯诺依曼——摩根斯坦（VNM）函数

函数的定义又在效用的偏序关系上定义了连续性+独立性

1. 完备性：对于任意两个结果 $ A $ 和 $ B $，决策者能够比较并得出 $ A \succ B \(，\) A \prec B $ 或 $ A \sim B $ 之一，即决策者能够对所有结果进行排序。

2. 传递性：如果 $ A \succ B $ 且 $ B \succ C $，则 $ A \succ C $。

3. 连续性：如果 $ A \succ B \succ C $，则存在一个概率 $ p $ 使得决策者对 $ B $ 的偏好与一个混合彩票 $ pA + (1-p)C $ 等价，即 $ B \sim pA + (1-p)C $。

4. 独立性：如果 $ A \succ B $，则对于任意 $ C $ 和 $ 0 < p \leq 1 $，有 $ pA + (1-p)C \succ pB + (1-p)C $。

根据这些公理，可以证明存在一个函数 $ u $，称为 VNM 效用函数，使得对于任意两个结果 $ A $ 和 $ B $，有 $ A \succ B $ 当且仅当 $ u(A) > u(B) $。

具体来说，VNM 效用函数 $ u $ 满足以下条件：

• 对于确定性结果 $ A $ 和 $ B $，如果 $ A \succ B $，则 $ u(A) > u(B) $。
• 对于一个混合彩票 $ pA + (1-p)B $，效用为 $ u(pA + (1-p)B) = pu(A) + (1-p)u(B) $。

期望效用悖论

阿莱悖论：对于不确定性的情况，人们的选择并不总是遵循期望效用理论

不确定条件下依旧拥有 5 个选择公理（加上不相等公理）

阿莱悖论的解释

风险与风险度量

风险：通常以实际结果与人们对该结果的期望值之间的离差（deviations）来度量某一事件的风险程度的大小

\[R(A) = \sum_{i=1}^n p_i \cdot |x_i - E(x)| \]

通常风险以方差来度量

风险态度

对于一个函数来说，我们通常由凹凸的定义，而对于两点之间的组合，可以用一条直线来表示，曲线代表确定的效用，直线代表不确定的效用

即我们希望比较混合彩票期望收益的效用与期望效用之间的关系，即

\[u(\sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i) \ ? \ \sum_{i=1}^n p_i \cdot u(x_i) \]

convex function 的效用函数对应的风险态度是风险规避的，concave function 的效用函数对应的风险态度是风险爱好的
affine function 的效用函数对应的风险态度是风险中立的

确定性等值 CE、风险升水

确定性等值（certainty equivalent）：在不确定性条件下，能够使个体在效用上感到满意的确定性收入

\[u(CE) = u(g) \]

风险升水（risk premium）：个体愿意为了避免风险而愿意放弃的一部分收入

\[P = | CE - E(g) | \]

投资组合

• 无风险资产
  能够保证投资者获得固定的投资回报率\(R_f\)

• 风险资产
  收益率不确定，但是有一个期望收益率\(R_m\)

通常\(R_m > R_f\)，所以人们会把一定比例的财产投资于风险财产

如果假设投资者投资风险资产的比例为\(b\)，那么预期收益率是一个线性组合

\[R_p = R_f + b(R_m - R_f) \]

这个投资组合的风险可以使用该投资组合的方差表示

例题

期望效用例题

在此例中，虽然混合情景的期望值为 5.2 元，消费者却只赋予其与 4 元相同的效用（0.6），表明消费者对不确定性情景存在风险规避行为。其中的差值可以定义为风险升水

保险定价例题

若不参保，则根据期望效用值与确定性等价的确定性收入相同，可以计算得出

\[u(CE) = 0.95 \cdot u(90000) + 0.05 \cdot u(10000) = 0.95 \cdot \sqrt{90000} + 0.05 \cdot \sqrt{10000} = \sqrt{CE} \\ \Rightarrow CE = 84100 \]

那么消费者能够接受的最大保费为

\[R = w_0 - CE = 90000 - 84100 = 5900 \]

如果保险公司全额赔付，那么保险公司的个人支出为

\[P = \alpha h = 0.05 \cdot 8000 = 4000 \]

那么保险公司的净收益为

\[\pi = R - P = 5900 - 4000 = 1900 \]

投资组合例题

1

\[u(小麦) = 0.5 \cdot \log 1900 + 0.5 \cdot \log 1500 = \log 1732.05 \\ u(水稻) = 0.5 \cdot \log 2800 + 0.5 \cdot \log 1000 = \log 1732.05 \]

2

假设投资者投资小麦的比例为\(b\)，那么预期收益率是一个线性组合

那么求解 b 是一个优化问题

\[\max u = 0.5 \cdot \log (1900b + 2800(1-b)) + 0.5 \cdot \log (1500b + 1000(1-b)) \]

3

依旧是一个保险定价问题，我们在此题只考虑小麦以及赔付旱灾与雨水充沛之间的差值

\[CE = \exp (0.5 \cdot \log 1900 + 0.5 \cdot \log 1500) = 1732.05 \]

如果保险商全赔，那么能够接受的最大保费为\(1900 - 1732 = 168\)

4

如果全赔，无利可图，具体解法见上一题