确定性推理
Ch3 确定性推理
是指按照某种策略从已知事实出发去推出结论的过程。
- 推理策略
主要解决推理方向、冲突消解等问题,如推理方向控制策略、求解策略、限制策略、冲突消解策略等 - 搜索策略
主要解决推理线路、推理效果、推理效率等问题。
推理的逻辑基础
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解释:对于谓词公式\(P\),如果对其中的常元指派一个元素,变元指派一个集合,每一个 n 元函数指派一个映射,一个 n 元谓词指派一个映射,则称为谓词公式的解释。
可以看出,一个谓词公式有很多种解释,而每种解释都对应一个真值。
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永真:如果一个谓词公式对非空个体域\(D\)所有解释下都为真,则称为永真。
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可满足:如果一个谓词公式对某个非空个体域\(D\)的某个解释下为真,则称为可满足。谓词公式的可满足性也称为相容性
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等价:如果两个谓词公式在某个个体域\(D\)的所有解释下都有相同的真值,则称为等价。
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前束范式:如果一个谓词公式的量词部分均非否定地只出现在公式的最前面,则称为前束范式。
例: \(\forall x \exists y P(x,y) \land Q(x)\) 是前束范式
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Skolem 范式:如果一个谓词公式的量词部分均非否定地只出现在公式的最前面,且所有的存在量词都在全称量词之前,则称为 Skolem 范式。
例: \(\exist y \forall x P(x,y) \land Q(x)\)
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置换: 可以简单理解为在一个谓词公式中使用置换项替换变元。是形如${ t_1/x_1, \dots, t_n/x_n } $的有限集合,其中 \(t_i\) 是项,\(x_i\) 是互不相同的变元。要求 \(t_i\) 中不包含 \(x_i\), \(x_i\) 也不在 \(t_j\) 中出现。
例如:\(P(x,y) \land Q(x) \{ a/x, b/y \} = P(a,b) \land Q(a)\)
置换的得到的新的公式可以被称作例示,是原公式的逻辑结论 -
置换的合成:假设我们有两个置换 (\sigma) 和 (\tau),它们分别将某些变量映射到某些项。置换 (\sigma) 和 (\tau) 的合成记作 (\sigma \circ \tau),表示先应用置换 (\tau),然后再应用置换 (\sigma)。
如果 (\sigma = {x_1 \mapsto t_1, x_2 \mapsto t_2, \ldots, x_n \mapsto t_n}) 和 (\tau = {y_1 \mapsto s_1, y_2 \mapsto s_2, \ldots, y_m \mapsto s_m}),那么合成置换 (\sigma \circ \tau) 是一个新的置换,它将每个变量 (x) 映射到 (\sigma(\tau(x)))。
示例:
假设有两个置换:
- (\sigma = {x \mapsto a, z \mapsto b})
- (\tau = {y \mapsto x, z \mapsto f(x)})
将这两个置换合成得到 (\sigma \circ \tau):
- 先应用 (\tau):对于任意变量 (v),将其替换为 (\tau(v))
- (y) 被替换为 (x)
- (z) 被替换为 (f(x))
- 再应用 (\sigma):将 (\tau(v)) 中的变量继续替换为 (\sigma) 中对应的值
- (x) 被替换为 (a)
- (f(x)) 中的 (x) 被替换为 (a),得到 (f(a))
因此,合成置换 (\sigma \circ \tau = {y \mapsto a, z \mapsto f(a)})。
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合一: 是指两个项之间的一种特殊的置换,使得这两个项在这个置换下相等。合一是一种特殊的置换,它将两个项映射到相同的值。
例如,假设有两个项 (f(x, y)) 和 (f(a, b))。这两个项可以通过合一 ({x \mapsto a, y \mapsto b}) 相等。
示例:
假设有两个项 (f(x, y)) 和 (f(a, b))。这两个项可以通过合一 ({x \mapsto a, y \mapsto b}) 相等。
合一的另一个示例是 (f(x, g(y))) 和 (f(a, g(b)))。这两个项可以通过合一 ({x \mapsto a, y \mapsto b}) 相等。
自然演绎推理
从一组已知为真的事实出发,直接运用经典逻辑中的推理规 则推出结论的过程称为自然演绎推理
归结演绎推理
在人工智能中,几乎所有的问题都可以转化为一个定理证明问题。定理证明的实质,就是要对前提 P 和结论 Q,证明 P→Q 永真。
证明永真非常困难,因此我们通常采用反证法,即证明 \(P \land \lnot Q\)不可满足。这样,我们就可以通过归结演绎推理来证明 \(P \to Q\)。
子句和子句集
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子句:是一个或多个文字的析取,其中每个文字都是一个谓词符号或其否定。
例如,\(P(x) \lor Q(y)\) 是一个子句,\(P(x) \lor Q(y) \lor R(z)\) 也是一个子句。
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空子句:不包含任何文字的子句,通常用符号 \(\square\) 表示。
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子句集:子句的集合
子句集的化简
对每一个子句,我们要将其化为所有全是全称量词的前束范式,随后消去全称量词。
如果有存在量词被全称量词约束,我们可以使用 Skolem 函数将其消去。
同时要消去全称量词,由于母式中的全部变元均受全称量词的约束,并且全称量词的次序已无关紧要,因此可以省掉全称量词。但剩下的母式,仍假设其变元是被全称量词量化的
随后将合取范式中的每一个子句拆分,得到一个子句集。
鲁滨逊归结原理
由于在消去存在量词时所用的 Skolem 函数可以不同,因此化简后的标准子句集是不唯一的
但当原谓词公式为永假(或不可满足)时,其标准子句集则一定是永假的,即 Skolem 化并不影响原谓词公式的永假性。
定理 3.1 设有谓词公式 F,其标准子句集为 S,则 F 为不可满足的充要条件是 S 为不可满足的
两个关键:
- 第一,子句集中的子句之间是合取关系。因此,子句集中只要有一个子句为不可满足,则整个子句集就是不可满足的;
- 第二,规定空子句是不可满足的。因此,一个子句集中如果包含有空子句,则此子句集就一定是不可满足的。
归结式:设 C1 和 C2 是子句集中的任意两个子句,如果 C1 中的文字 L1 与 C2 中的文字 L2 互补,那么可从 C1 和 C2 中分别消去 L1 和 L2,并将 C1 和 C2 中余下的部分按析取关系构成一个新的子句 C12
定理 3.2 归结式 C12 是其亲本子句 C1 和 C2 的逻辑结论, 即如果 C1, C2 关于解释 I 为真,则 C12 也为真
推论 1:设 C1 和 C2 是子句集 S 中的两个子句,C12 是 C1 和 C2 的归结式,若用 C12 代替 C1 和 C2 后得到新的子句集 S1,则由 S1 的不可满足性可以推出原子句集 S 的不可满足性。即:S1 的不可满足性 ⇒ S 的不可满足性
推论 2:设 C1 和 C2 是子句集 S 中的两个子句,C12 是 C1 和 C2 的归结式,若把 C12 加入 S 中得到新的子句集 S2,则 S 与 S2 的不可满足性是等价的。即:S2 的不可满足性 ⇔S 的不可满足性
定理 3.3 子句集 S 是不可满足的,当且仅当存在一个从 S 到空子句的归结过程
有了上述定理,我们可以将结论的否定加入子句集,然后通过归结过程来证明蕴含式的正确性。
在谓词逻辑中,由于子句集中的谓词一般都含有变元,因此不能象命题逻辑那样直接消去互补文字。而需要先用一个最一般合一对变元进行代换,然后才能进行归结。
人话:就是将全称量词置换到同一个符号,然后再进行归结。
检测题:
已知
• F: (∀x)((∃y)(A(x, y)∧B(y))→(∃y)(C(y)∧D(x, y)))
• G: ﹁(∃x)C(x)→(∀x)(∀y)(A(x, y)→﹁B(y))
求证 G 是 F 的逻辑结论。
解决复杂问题
某记者到一孤岛采访,遇到了一个难题,即岛上有许多人说假话,因而难以保证新闻报道的正确性,不过有一点他是清楚的,这个岛上的人有一特点:说假话的人从来不说真话,说真话的人也从来不说假话。一次记者遇到了孤岛上的三个人,为了弄清楚谁说真话,谁说假话,他向这三个人中的每一个都提了一个同样的问题,即 “谁是说谎者?”
结果 A 答“B 和 C 都是说谎者”,
B 答“A 和 C 都是说谎者”,
C 答“A 和 B 中至少有一个 是说谎者”
归结策略
归结策略是指在归结过程中,如何选择两个子句进行归结。归结策略的选择直接影响到归结的效率。
- 广度优先策略
(1)从 S0 出发,对 S0 中的全部子句作所有可能的归结,得到第一层归结式,把这些归结式的集合记为 S1;
(2) 用 S0 中的子句与 S1 中的子句进行所有可能的归结,得到第二层归结式,把这些归结式的集合记为 S2;
(3) 用 S0 和 S1 中的子句与 S2 中的子句进行所有可能的归
结,得到第三层归结式,把这些归结式的集合记为 S3;
如此继续,直到得出空子句或不能再继续归结为止
当问题有解时,能够保证找到最短的归结路径与解,但是会产生组合爆炸的问题。
- 支持集策略