概率面试题

转载自https://blog.csdn.net/bertdai/article/details/78070092

1. 从单位圆中均匀采样

M1: 拒绝采样方法

我们拥有从$[-1, 1]$中均匀采样的方法，那么我们可以通过拒绝采样的方法来实现从单位圆中均匀采样。

即我们要证明$\forall z = (x,y) \sim U(-1,1),U(-1,1) ,p(z | accept) = c$,通过贝叶斯定理很容易证明

因此我们拥有拒绝采样的思路

for _ in range(1000):
    x = random.uniform(-1, 1)
    y = random.uniform(-1, 1)
    if x**2 + y**2 <= 1:
        points.append((x, y))

M2: 极坐标变换

首先对半径进行采样，如果是均匀分布的话

$$F_X(x) = P(X \leq x) = x^2 \\ F_X^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

因此我们只需要对半径进行采样，然后对角度进行采样即可

for _ in range(1000):
    r = math.sqrt(random.uniform(0, 1)) * radius
    theta = random.uniform(0, 2 * math.pi)
    x = r * math.cos(theta)
    y = r * math.sin(theta)
    points.append((x, y))

2. 一根木棒，截成三截，组成三角形的概率是多少

首先我们仅要对两截进行建模即可，假设第一截长度为$x$，第二截长度为$y$，那么第三截长度为$1-x-y$，那么我们只需要满足三角形的三边不等式即可

$$f(x,y) = c, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq 1-x-y \leq 1 \\ \int f(x,y) = 1$$

同时满足三角形的三边不等式

$$\begin{aligned} x + y \geq 1-x-y \\ y + 1-x-y \geq x \\ 1-x-y + x \geq y \end{aligned}$$

不难得出最终的概率为$\frac{1}{4}$

3. 抛一个六面的色子，连续抛直到抛到 6 为止，问期望的抛的次数是多少

这是一个几何随机变量,其中$p=1/6$

$$p(x=k) = (1-p)^{k-1} p$$

我们求解几何随机变量要使用全期望公式，下面简单推导一下

$$\mathbb{E}_{x|A}[x] = \sum_{x} x p(x|A)$$

那么 x 的全期望为

$$\mathbb{E}[x | A_i] = \sum_{A_i} \mathbb{E}_{x|A_i}[x] p(A_i) = \sum_{A_i} \sum_{x} x p(x|A_i) p(A_i) \\ = \sum_{x} x \sum_{A_i} p(x|A_i) p(A_i) = \sum_{x} x p(x)$$

对于另一个随机变量$y$，我们也有全期望公式

$$\mathbb{E}[x] = \sum_{y} p(y) \mathbb{E}_{x|y}[x] = \sum_{y} p(y) \sum_{x} x p(x|y) \\ = \sum_{x} x \sum_{y} p(x|y) p(y) = \sum_{x} x p(x)$$

因此对于几何随机变量，我们有

$$\mathbb{E}[x] = \sum_{x} x p(x) = \sum_{x} x (1-p)^{x-1} p$$

如果我们求第一次抛出后的期望次数，那么我们可以通过全期望公式求解

$$\mathbb{E}[x | 1] = 1 \\ \mathbb{E}[x | 0] = 1 + \mathbb{E}[x]$$

因此我们有

$$\mathbb{E}[x] = p \mathbb{E}[x | 1] + (1-p) \mathbb{E}[x | 0] = p + (1-p)(1 + \mathbb{E}[x]) \\ \Rightarrow \mathbb{E}[x] = \frac{1}{p} = 6$$

4. 一个木桶里面有 M 个白球，每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（无论白或红都涂红）再放回，问将桶中球全部涂红的期望时间是多少

5. 你有一把宝剑。每使用一个宝石，有 50%的概率会成功让宝剑升一级，50%的概率会失败。如果宝剑的级数大于等于 5 的话，那么失败会使得宝剑降 1 级。如果宝剑的级数小于 5 的话，失败没有效果。问题是：期望用多少个宝石可以让一把 1 级的宝剑升到 9 级

记号说明：$\mathbb{E}[n]$代表从 n 级升到 9 级的期望宝石数，我们使用全期望公式来求解

$\mathbb{E}[n] = 0.5 \mathbb{E}[n+1 | 1] + 0.5 \mathbb{E}[n^{'} | 0]$

$$\mathbb{E}[n] = \begin{cases} 1 + \frac{1}{2} \mathbb{E}[n+1] + \frac{1}{2} \mathbb{E}[n-1] & n \geq 5 \\ 1 + \frac{1}{2} \mathbb{E}[n+1] + \frac{1}{2} \mathbb{E}[n] & n < 5 \end{cases}$$

通过递推我们可以求解出来$\mathbb{E}[1] = 16$

6. 已知有个 rand7()的函数，返回 1 到 7 随机自然数，怎样利用这个 rand7()构造 rand10()，随机 1~10

首先我们可以通过 rand7() 来构造 rand49()，即rand49() = (rand7() - 1) * 7 + rand7(),然后通过拒绝采样+取模的方法来构造 rand10()

def rand10():
    while True:
        num = (rand7() - 1) * 7 + rand7()
        if num <= 40:
            return num % 10 + 1

7. 已知有个 randM()的函数，返回 1 到 M 随机自然数，怎样利用这个 randM()构造 randN()，随机 1~N。

pass

8. 已知一随机发生器，产生 0 的概率是 p，产生 1 的概率是 1-p，现在要你构造一个发生器，使得它产生 0 和 1 的概率均为 1/2。

考虑构造一个发生器，产生 01 和 10 的概率均为 1/2，那么我们可以通过两次调用原发生器来实现

9. 已知一随机发生器，产生的数字的分布不清楚，现在要你构造一个发生器，使得它产生 0 和 1 的概率均为 1/2

利用对称性，我们可以通过两次调用原发生器来实现

10. 给出从 n 个数中随机选择 1 个的方法。注意，n 非常大，并且一开始不知道其具体值。数字是一个一个给你的，当给完之后，你必须立刻给出随机的结果

首先要求实时性，那么对于第一个数，我们首先选取

当出现第$k$个数时，如果我们选择第$k$个数的概率为$\frac{1}{k}$，这样我们就可以保证每个数被选取的概率为$\frac{1}{n}$

proof

第 k 个数字被选取的概率为$\frac{1}{k}$，那么前 k-1 个数字被选取的概率为$\frac{k-1}{k}$,而上一轮每一个数字被选取的概率为$\frac{1}{k-1}$，因此每一个数字被选取的概率为$\frac{1}{k}$

proof end