Maximum Sum of Minimum

Maximum Sum of Minimum

解法1

对于每个点，其相连边满足下列式子

L<=Ci 且对于 Cmax 等号不成立

则可以知道，当除最大值外每个等式均成立时，总和最大。

Ans= ∑Ci - Cmax

先不考虑实际边的连接情况，把所有边均连接到最大值上，如图：

 

 

 

显然是满足最大值的情况。

 

对上述特殊情况进行一般化讨论：只要子节点的值小于父节点的值即可。

则对于任意一颗树，根据层数进行填充（层数越小，值越大）即可满足要求。如图

 

 

 

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=1e4+7;
int C[maxn],N,Ans,ans[maxn];
vector <int> T[maxn];
void BFS(int root)
{
    queue<int>Q;
    int cnt=N;
    int l=T[root].size();
    for(int i=0; i<l; ++i)
    {
        Q.push(T[root][i]);
    }
    ans[root]=C[cnt--];
​
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();
        Q.pop();
        if(ans[u]) continue;
        ans[u]=C[cnt--];
        l=T[u].size();
        for(int i=0; i<l; ++i)
        {
            Q.push(T[u][i]);
        }
    }
​
}
int main()
{
    int a,b;
    cin>>N;
    for(int i=1; i<=N-1; ++i)
    {
        cin>>a>>b;
        T[a].push_back(b);
        T[b].push_back(a);
    }
    for(int i=1; i<=N; ++i)
    {
        cin>>C[i];
        Ans+=C[i];
    }
    sort(C+1,C+1+N);
    Ans-=C[N];//最大值计算
    BFS(1);
    cout<<Ans<<endl;
    for(int i=1; i<=N; ++i)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    return 0;
}
​
​

解法2

对 C 数组进行从小到大排序

则与 C[1] 相连的边，其权值均为 C [1]

由贪心策略易知，越小的点，其相连边应越少，理想情况为叶子节点。

如图所示，在 4 号节点填入 C[1] 后，3-4 这条边已经确定权值了，我们可以将它删去，则 3 号节点成为了一个新的叶子节点

在 3 号节点填入 C[2] 后，3-2 这条边已经确定权值了，我们可以将它删去

在 5 号节点填入 C[3] 后，5-2 这条边已经确定权值了，我们可以将它删去

后续操作不进行赘述，具体代码实现参照下方

 

 

 

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=1e4+7;
int C[maxn],N,Ans,ans[maxn],cnt,vis[maxn];
vector <int> T[maxn];
void DFS(int root)
{
    vis[root]=1;
    for(int i=0; i<T[root].size(); ++i)
    {
        int v=T[root][i];
        if(vis[v]) continue;
        DFS(v);
    }
    ans[root]=C[++cnt];
    Ans+=ans[root];
}
int main()
{
    int a,b;
    cin>>N;
    for(int i=1; i<=N-1; ++i)
    {
        cin>>a>>b;
        T[a].push_back(b);
        T[b].push_back(a);
    }
    for(int i=1; i<=N; ++i)
        cin>>C[i];
    sort(C+1,C+1+N);
    DFS(1);
    cout<<Ans<<endl;
    for(int i=1; i<=N; ++i)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    return 0;
}
​