noip2006 2^k进制数

描述

设r是个2k 进制数，并满足以下条件：
（1）r至少是个2位的2k 进制数。

（2）作为2k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k＜W≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”m组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

格式

输入格式

输入文件只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
k W

输出格式

输出文件为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

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正解=组合数学

注意这句话：作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

其实这是在暗示组合数，

      显然r中的不会有相同的位

      如果每一位都不同，显然只有严格递增的排列是合法的

这便是组合- =，

将 r 转化成这种形式（设k为3） 000 000 000 000 

      显然除首位外每一位的取值范围为 000 to 111(2^k-1)

      在首位为0的情况下，最多可取 w/k 位，且题目要求大于2位，

      则在首位为0的合法解有 ∑ C(2^k-1,i)(2<=i<=w/k) ，

Ps. 如果 w 模 k 等于 0 仅考虑上述情况即可。

考虑首位不为0的情况

      显然首位不为0的话，r 就有 w/k+1 位，

      除首位外还有w/k位，

      可以枚举首位的取值范围为 1 to 2^(w mod k)-1

      设首位取值为 val  

      则剩下 w/k 位 取值范围为 val+1 to 2^k-1 

      也就是有 2^k-1-val 个数可取

      所以首位不为0的合法解有 ∑ C(2^k-1-val,w/k)(1<=val<=2^(w mod k)-1) 

所以上述两者相加便是正解（需要高精运算）

Ps. 实际编程时存在一些计算边界。

代码如下:

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<iostream>
#include<queue>
#define INF 99999999
#define LL long long
using namespace std;
struct STR{
    int s[200];
}c[501][501]; 
STR One,ans;
void put(STR a){
    printf("%d",a.s[a.s[0]]);
    for(int i=a.s[0]-1;i>0;i--) printf("%.4d",a.s[i]);
}
STR add(STR &d,STR a,STR b){
    int L=max(a.s[0],b.s[0]);
    for(int i=1;i<=L;i++){
        d.s[i]+=a.s[i]+b.s[i];
        d.s[i+1]+=d.s[i]/10000;
        d.s[i]%=10000;
    }
    if(d.s[L+1]) ++L;
    d.s[0]=L;
    return d;
}
void Inc(STR &a,STR b){
    int L=max(a.s[0],b.s[0]);
    for(int i=1;i<=L;i++){
        a.s[i]+=b.s[i];
        a.s[i+1]+=a.s[i]/10000;
        a.s[i]%=10000;
    }
    if(a.s[L+1]) ++L;
    a.s[0]=L;
}
STR C(int n,int m){
    if(c[n][m].s[0]) return c[n][m];
    if(n==m||!m) return c[n][m]=One;
    return add(c[n][m],C(n-1,m-1),C(n-1,m));
}
int main(){
    One.s[0]=One.s[1]=1;
    int k,w;
    scanf("%d%d",&k,&w);
        int Max=w/k,lim1=1<<k;
        --lim1;
        for(int i=2;i<=Max;i++) 
      if(i<=lim1)
        Inc(ans,C(lim1,i));
    
         int lim2=1<<(w%k);
    for(int j=1;j<lim2&&lim1-j>=Max;j++) 
       Inc(ans,C(lim1-j,Max));
    put(ans);
}