二进制运算与加法器
对于计算机而言，由于存储机制的限制，所有的运算都是以二进制的形式进行的。这意味着计算机中的计算都是二元计算，要么0要么1，而至今为止计算机仍然无法很好地实现更高进制的直接运算，而二进制运算的情况足够少，这使得我们可以以布尔运算的形式实现两个二进制数字之间的运算。
布尔运算的基本运算类型有：与运算（&），或运算（|），非运算（~），异或运算（^）。其运算规则如下：
- 与：true & true = true，true & false = false，false & true = false，false & false = false
- 或：true | true = true，true | false = false，flase | true = true，false | false = false
- 非：~ true = false，~ false = true
- 异或：true ^ true = false，true ^ false = true，false ^ true = true，false ^ false = false
在计算机中，这些运算通过逻辑门（与门、或门、异或门、非门）实现，这里不对硬件层面的知识进行过多介绍。
对于二进制运算，我们有如下的运算规则：
0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1，1 + 1 = 0（进位）
将 0 作为flase，1 作为true，从而我们使用布尔运算中的异或运算模拟出二进制运算：
- 0+0 => false ^ false = false => 0
- 0+1 => false ^ true = true => 1
- 1+0 => true ^ false = true => 1
- 1+1 => true ^ true = false => (1) 0 （进位）
可以看到，我们使用布尔运算模拟了二进制下的运算规则，但问题在于，0+0 和 1+1 的结果都是0，但是后者需要一次进位。那么如何标记这个进位？
我们可以使用异或运算和一个与运算来实现对进位的标记，只有在参与运算的两个数字参与与运算的结果为true时才需要进位，即两个1（true）进行加法运算：
如上图所示，同时使用了异或运算与与运算后，这个运算会产生两个输出，一个加法运算结果和一个进位标记输出，我们成这个结构为一个“一位半加器”。之所以叫半加器是因为这个运算器只能对末尾的数字起作用，它没有考虑到之前的数位运算产生的进位。
高位数字的运算需要考虑三个输入：加数对应位上的数字、被加数对应位上的数字、以及前一位运算的进位。因此我们再向其中添加一个半加器，从而使用两次加法运算实现了高位数字的运算：
如上图所示，第一个加法器中首先计算了加数与被加数指定为上的数字，同时输出一个进位和一个和，然后在第二个半加器中计算这个和与上一位运算的进位输出的和，从而得到一个新的进位和这一位运算的最终结果。两个半加器生成了两个进位输出（这两个进位输出只可能产生0个或者1个进位，不会同时产生2个进位）。我们对这两个进位执行或运算，从而得到最终的进位结果，这个结果会输出给下一位运算的加法器。这样，我们就实现了一个“一位全加器”。
将8个这样的一位全加器组合起来，我们就构成了一个一个“八位全加器”，推广开来，我们也可以实现“十六位全加器”、“三十二位全加器”、“六十四位全加器”……
从图中可以看出，八位数字的运算过程是串行的，从低位开始的，逐级向高位进行推进，这意味这每一位的运算都要等待前一位运算完成才能进行，这也就意味着，如果我们要执行一次八位运算，其运算的时间将会是是一位运算的八倍。因此这种运算器也被称之为“逐位进位加法器”。因此，想要缩短多位数字的运算时间，将运算过程并行化是势在必行的。这也就是“选择进位加法器”的实现思想：在每一位的计算时，都在等待前一位的进位。那么不妨预先考虑进位输入的所有可能，对于二进制加法来说，就是0与1两种可能，并提前计算出若干位针对这两种可能性的结果。等到前一位的进位来到时，可以通过一个双路开关选出输出结果。不过，在这里不对选择进位加法器进行过多介绍。
但正如上面的示例，对于一个八位全加器而言，最高位的进位输出并没有被其他全加器接收，这个进位就被抛弃了，如果当进位不是0的时候，这个加法器的运算结果就不是本次运算的正确结果了，我们称这种情况为“运算溢出”。如 1100 0010 + 1000 1010 = 1 0100 1100，对于一个八位全加器而言，它的输出只能是0100 1100。
半加器和全加器统称为加法器，在CPU（中央处理器）中正是通过加法器执行数字计算。
二进制加法
二进制加法是最基础也是最简单的二进制运算。给定两个二进制数，如5和3，它们的和为8，转化为二进制运算如下：
5 的二进制表示为 0101
3 的二进制表示为 0011
5+3的二进制运算过程如下：
5+3的二进制结果为 1000，转换为十进制即 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 8。
但是对于6和12而言，它们的四位二进制表示分别为 0110 和 1100，而它们的和为 1 0010 = 18，在四位的处理器中，这个运算的输出就会是 0010 = 2，这也就是我们上面提到过的“运算溢出”。在某些系统中，发生溢出时会终止程序，报错提示；而在有的系统中则不会报错，而是如上面的示例一样，输出了移除后的数据，这将会导致运算结果的错误，最终影响到业务的准确性。因此，在进行运算时一定要考虑到是否会发生溢出，如果可能发生溢出则必须设计相应的机制，避免程序出错或者产生错误的结果。
无符号数和有符号数
我们知道，以0为分界线，数字分为正数和负数。在十进制中我们通过在数字前面加上 + / - 表示数字的正负（大概就是 0+X、0-X 的缩写），但是在计算机中是无法存储一个“正负号”的。所以我们只能另辟蹊径，约定二进制数字的第一个数字位（最左侧的位）为符号位，当符号位上数字为0的时候，当前数字为正数；符号位上数字位1的时候，当前数字为负数。这种将第一位作为符号位的数字，称之为“有符号数”，反之则称之为“无符号数”。
根据上面的规则，针对一个八位的二进制有符号数字，只有后七位是用于表示数值的。根据这种规则，一个八位二进制数字的范围应该为：[ 1111 1111 , 0111 1111]，转换成十进制为：[-127,+127]。但我们知道，一个八位二进制的数字应该可以表示 2^8 = 256 个不同的数字，但是这里只有255个，还有一个去哪儿了？
考虑有符号数中的两个特殊数字（以八位二进制数为例）：1000 0000和0000 0000。按照约定，这两个数字分别表示 -0 和 +0，但是对于0而言是不分正负的（0既不是整数也不是负数），那么这两个数字就重复了，我们可以拿其中一个数字来表示另外一个值，这样八位有符号数就可以表示 255+1=256 个数字了。这里我们有两种选择，将 1000 0000 作为 -128，或者是将 0000 0000 作为 +128。如何选择呢？
先说结论，我们选择了 1000 0000 作为 -128，而 0000 0000 表示 0。为什么要这么选择？
在解释这个问题之前，我们先了解一下 原码、反码和补码的概念。
原码、反码和补码
一个有符号二进制数，如 0110（6的二进制），这就是一个数字最初的样子，我们称之为“原码”。上面的二进制加法中，我们就是直接针对原码进行计算的。
如果我们要针对二进制设计减法，那么要如何设计？
二进制减法的运算规则为：
0 - 0 = 0，1 - 1 = 0，1 - 0 = 1，0 - 1 = 1（退位）
按照上面设计加法器的规则，我们可以很轻松的利用异或运算与或运算设计一套“减法器”。但是我们真的有必要在一个运算器中同时加入两套运算系统吗？
我们都知道，X - Y（其中X、Y都是正数）= X + (-Y)，也就是说，减法可以被转换成加法。这意味着，通过一定的转换操作，我们可以使用一套加法器同时完成加法操作和减法操作。这样即可以减少运算器的设计和制造成本，一套运算系统出问题的概率相比两套也会更低。
那么要如何将一个二进制正数转换为对应的负数？
十进制数字在正负转换时只要在正数前面加上 - 即可，对于二进制而言，我们也可以通过将符号位转换为 1 来转换正负，如 +5 的二进制表示为 0101，-5 的二进制表示为 1101。但是这种简单粗暴的转换在运算时可以正确的运算吗？下面是 3+(-5) 的运算过程：
可以看到，简单粗暴的转换符号位在有符号数字计算时的计算结果并不正确，即使是在不去除溢出的情况下也不正确。理想的计算结果应该是 1010（-2）。这意味着我们需要考虑其他的转换方式。
虽然直接替换符号位并不可取，但有一件事情是必然的，-5+5=0，这意味这+5和-5的二进制表示的和也应该是0。我们尝试使用 0-5 的方式来计算 -5：
可以看到，我们直接使用 0000 去减 0101（5），最终可以得到一个二进制数字 1011，如果不舍弃溢出位，就可以看到，它的右侧有无数个1，这是因为不断向上借位的原因。如果我们直接舍弃掉这些溢出，用 0101 去加 1011，最终得到的结果就是 1 0000，这和我们期望的和为0并不符合（虽然在移除溢出位后的确表示为0，但这显然是不可取的）。
出现这种问题的原因就是上图的减法中的无限借位和运算溢出，那么我们干脆用 1000 替换掉 0 0000，这样就可以向最高位进行借位。
