拉格朗日插值

拉格朗日插值

定义：

什么是插值？

百度百科上这样写：

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。 [1]

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。

人看的确信

通俗点就是李云龙拉来了一门意大利炮，然后一炮打出去，那么轨迹就可以抽象为一个函数 $f(t)$，然后因为炮弹飞的很快，你能看见部分轨迹上的点，那么插值就是让你通过这些点来近似还原函数。

拉格朗日插值法

插值有很多种求法：三角函数插值，线性插值，牛顿插值，拉格朗日插值。

Joseph-Louis Lagrange 拉格朗日。

思想就是硬凑确信。

怎么硬凑？假设平面上有三个点，$(x_1,y_2),(x_2,y_2),(x_3,y_3) \ \ x_1<x_2<x_3$。

然后拉格朗日这个人呢就想对每个点搞一个子函数 $f_i(x)$，强制令在 $x=x_i$ 的时候 $f_i(x)=1$，在$x=x_j,j \ne i$ 的时候 $f_i(x)=0$，然后把这 $n$ 个子函数凑起来。

那怎么计算这 $n$ 个子函数？我们设第 $i$ 个子函数为：

$$f(x)=\begin{cases}0 \ \ x = x_j(j \ne i) \\1 \ \ x=x_j \end{cases}$$

然后插值的结果就是：

$$f(x)= \sum_{i=1}^{n}y_if_i(x)$$

现在好了，如何构造出子函数的形式呢？

因为在 $x=x_j ,j\ne i$ 时要为 $0$，我们可以想到令分子为 $0$。

因为在 $x=x_i$ 时要为 $1$，所以想到此时分子分母相同。

以 $f_1(x)$ 举例，那就是：

$$f_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}$$

这样就满足了条件。

那么求和就是：

$$f(x)= \dfrac{y_1(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+ \dfrac{y_2(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+ \dfrac{y_3(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$$

推广到一般，对于 $n$ 个点，设：

$$f_i(x)=\dfrac{\prod_{j \ne i}(x-x_j)}{\prod_{j \ne i} (x_i-x_j)}$$

那么插值结果就是：

$$f(x)=\sum_{i=1}^{n}y_if_i(x)=\sum_{i=1}^{n}y_i \times \dfrac{\prod_{j \ne i}(x-x_j)}{\prod_{j \ne i} (x_i-x_j)}$$

P4781 【模板】拉格朗日插值

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define debug cout<<"Szt ak ioi\n";
#define int long long

const int Mod=998244353;
const int N=1e6+7,M=2e3+1;

using namespace std;

inline int read() {
    int x=0,f=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15),ch=getchar();
    return f?-x:x;
}

int Ans,n,k,x[N],y[N];
int inv(int a,int b){
    int res=1;while(b){if(b&1) res=(res*a)%Mod;
    b>>=1;a=(a*a)%Mod;}return res;
}

signed main() {
    n=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=read(),y[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int Fz=y[i]%Mod,Fm=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==j) continue;
            Fz=((Fz*(k-x[j]))%Mod);
            Fm=((Fm*(x[i]-x[j]))%Mod);
        }Ans=(Ans+(Fz*inv(Fm,Mod-2)%Mod)+Mod)%Mod;
    }
    printf("%lld\n",(Ans+Mod)%Mod);
    return 0;
}

重心拉格朗日

咕。