莫比乌斯反演

坑是开了，补不补就另说了（（（

1.数论分块

重要结论：

对于常数 $n$，满足
\[\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=\lfloor \frac{n}{j}\rfloor \]
成立的最大的满足 $i \le j \le n$ 的 $j$ 的 $\left\lfloor{\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }}\right\rfloor $ 。即块 $\lfloor\dfrac{n}{i} \rfloor$ 的右端点为 $\left\lfloor{\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }}\right\rfloor $。

证明如下：

\[\because \left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor \le \dfrac{n}{i}\\ \therefore \left\lfloor \dfrac{n}{\lfloor \dfrac{n}{i}\rfloor}\right\rfloor \ge \left\lfloor \dfrac{n}{\dfrac{n}{i}}\right\rfloor=\left\lfloor i \right\rfloor=i \]

证毕。

$\forall a,b,c \in Z,\left\lfloor \dfrac{a}{bc}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor}{c}\right\rfloor$

证明略。

复杂度分析：

\[\displaystyle \forall n\in N,|{\lfloor \dfrac{n}{d}\rfloor | d\in N}| \le \lfloor 2\sqrt n\rfloor \]

证明：

当 $d \le \sqrt n$ 时 $\lfloor\dfrac{n}{d}\rfloor$ 最多有 $\sqrt n$ 种取值。

当$d \ge \sqrt n$ 时 $\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \le \lfloor\sqrt n\rfloor$，$\lfloor \frac{n}{d} \rfloor$ 最多有 $\sqrt n$ 种取值。

复杂度$\mathcal{O(\sqrt n)}$。

例题：

UVA11526 $H(n)$

大板子，每一块求和即可。

int calc(int n)
{
	int l=1,r,res=0;
	while(l<=n)
	{
		r=n/(n/l);
		res+=(r-l+1)*(n/l);
		l=r+1;
	}
	return res;
}

P2261 [CQOI2007] 余数求和

转化一下也是板子，就是剖开取余问题，因为 $a \% b$ 等价于 $a-\left\lfloor \dfrac{a}{b}\right\rfloor \times b$，还是那样。

while(l<=n)
{
	if(k/l) r=min(k/(k/l),n);
	else r=n;
	Ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
	l=r+1;
}

2.莫比乌斯函数

定义

$\mu$ 为莫比乌斯函数，定义如下：

\[\mu(n)=\left\{\begin{align} 1,n=0\\ 0,n \ \text{含有平方因子}\\ -1^k, k \text{为} n \text{的本质不同的因子个数} \end{align}\right. \]

性质

莫比乌斯函数是积性函数，且具有以下性质：

\[\sum_{d \mid n}{\mu(d)}=[n=1] \]

证明，设 $\displaystyle n=\Pi_{i=1}^{k},n^{'}=\Pi_{i=1}^{k}$。

①.根据莫比乌斯函数的定义，有$\displaystyle \sum_{d \mid n} \mu(d)=\sum_{d \mid n^{'}}\mu(d)$。

②.若 $n'$ 的某因子 $d$ ，则有 $\mu(d)=(-1)^i$，则它由 $i$ 个本质不同的质因数组成。由于质因数总共 $k$ 个，所以满足上式的因子数共 $C_k^i$ 个。

③.对于原式，转化为枚举 $\mu(d)$ 的值。

则 $\displaystyle \sum_{d \mid n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^{k}{C_k^i}\times (-1)^i=\sum_{i=0}^{k}{C_k^i\times (-1)^i \times 1^{k-i}}$，由二项式定理得该式 $=(1+(-1))^k$，显然 $k=0$ 时即 $n=0$ 时为 $1$，反之为 $0$。

常用结论

\[[\gcd(i,j)=1]=\sum_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d) \]

无非就是把性质里的式子 $n$ 换成了 $\gcd(i,j)$ 而已。

线筛求莫比乌斯函数

利用积性函数的性质筛。

int sc,mu[N],prime[N];
bool vis[N];
void euler(int n)
{
	vis[1]=true;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
		if(!vis[i])
        {
		   prime[++sc]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=sc&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
		   vis[i*prime[j]]=true;
            if(!(i%prime[j]))
            {
			   mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

狄利克雷卷积

算法学习笔记(35): 狄利克雷卷积

一些关系

\[e=\mu \times 1 \Leftrightarrow \mu = \mu \times e=u\\ \sigma_k=Id_k\times 1 \Leftrightarrow Id_k=\mu \times \sigma_k\\ Id=\varphi\times 1 \Leftrightarrow \varphi =Id \times \mu \]