园龄：3年6个月粉丝：31 关注：34

同余最短路

~~什么神仙算法~~

这类问题的关键在于建模，~~头大了~~，主要总结几个题的思路技巧吧。

一般问题1：给定 $n$ 个正整数，求这 $n$ 个正整数能凑出多少其他的正整数(可以重复取)。

一般问题2：给定 $n$ 个正整数，求这 $n$ 个正整数不能拼出的最(大/小)的正整数。

（标题有 Link）

P3403 跳楼机

一般问题1

明显的楼层数只能在 $[1,k]$ 之间，因为可以回到第一层，那么问题转化一下：

满足 $ax+by+cz \equiv i \pmod k$ 的 $i$ 有几个。

对于每一个 $i$ ，我们可以把它表示为 $i=xn+m$ ， $m$ 为余数，可以用 $y,z$ 去凑出 $m$ 这个余数，任何可以在 $[0,x-1]$ 范围内统计余数就可以得出楼层数，设 $dis[i]$ 表示用若干个 $y,z$ 能组成的余数（或者说能到达的位置，余数 $\in (0,x-1]$ ），对于余数 $m$ ，通过加一个 $y$ 能到达余数 $j$ ，则一定满足 $(m+y) \bmod x=j$ ，可以这么说，余数从 $i$ 到 $j$ 需要走的路径长度为 $y$ 。

所以这样连边：

A d d_e d g e (m, (m + y) mod a, y)

$Add\_edge(m,(m+y)\bmod a,y)$

A d d_e d g e (m, (m + z) mod a, z)

$Add\_edge(m,(m+z)\bmod a,z)$

跑一遍最短路，得到了 $[0,x)$ 范围内的能组成的余数 $dis[i],i\in[0,x)$

因为 $x$ 可能比 $k$ 大，所以只选取余数比 $k$ 小的部分，看 $k-dis[i]$ 中有几个 $a$ 统计贡献即可， $+1$ 是为了加上 $dis$ 本身这个位置。

A n s = \sum_{m = 0}^{a - 1} (\frac{h - d i s_{m}}{a} + 1)

$Ans=\displaystyle \sum_{m=0}^{a-1}(\frac{h-dis_m}{a}+1)$

/*
Knowledge : Rubbish Algorithm
Work by :Gym_nastics
Time : O(AC)
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+6;

int read() {
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f|=(ch=='-');
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    return f?-x:x;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

bool vis[N];
int dis[N],head[N],cnt;struct node{int v,w,nxt;}e[N];
void Add_edge(int u,int v,int w){e[++cnt]=(node){v,w,head[u]};head[u]=cnt;}

int h,a,b,c;

void SPFA(){
    queue<int>q;memset(dis,INF,sizeof dis);
    dis[1]=1;q.push(1);vis[1]=true;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=true;
            } 
        }
    }
}

signed main() {
   h=read();a=read();b=read();c=read();if(a==1 or b==1 or c==1) return print(h),0;
   for(int i=0;i<a;i++)Add_edge(i,(i+b)%a,b),Add_edge(i,(i+c)%a,c);
   SPFA();int Ans=0; 
   for(int i=0;i<a;i++)if(h>=dis[i]) Ans+=(((h-dis[i])/a)+1);
   return print(Ans),0;
}

AT3621 [ARC084B] Small Multiple

不知道的问题几

是个人都知道暴力不可过……

需要知道一点的是：一个数通过不停 $+1$ 和 $\times 10$ 能构成任何数，并且 $+1$ 对和的影响是 $0$ ， $\times 10$ 的影响是 $0$ ，设 $dis[i]$ 表示 $x \bmod k=i$ 的最小数字和，则 $dis[0]$ 表示整除的情况。那就比较简单了。

A d d_e d g e (i, i + 1, 1)

$Add\_edge(i,i+1,1)$

A d d_e d g e (i, (i \times 10) mod k, 0)

$Add\_edge(i,(i\times 10)\bmod k,0)$

注意 $1$ 的数字和是 $1$ ，跑一遍最短路。

/*
Knowledge : Rubbish Algorithm
Work by :Gym_nastics
Time : O(AC)
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+6;

int read() {
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f|=(ch=='-');
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    return f?-x:x;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

int head[N],cnt;struct node{int v,w,nxt;}e[N];
void Add_edge(int u,int v,int w){e[++cnt]=(node){v,w,head[u]};head[u]=cnt;}
int k;int dis[N];bool vis[N];

void SPFA(){
    memset(dis,INF,sizeof dis);
    dis[1]=1;vis[1]=1;queue<int>q;q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
            }
        }
    }
}

signed main() {
   k=read();
   for(int i=1;i<k;i++) 
   Add_edge(i,(i+1)%k,1),Add_edge(i,(i*10)%k,0);
   SPFA();print(dis[0]);                                 
   return 0;
}

P2662 牛场围栏

一般问题2

我们把能取到的长度都存起来，去重排序，取其中最小的为 $L$

则最大取不到的数可以用 $L$ 表示： $Max=a \times L+i,i\in[0,a)$

设 $dis[i]$ 表示组成长度模 $L$ 为 $i$ 的最小长度，肯定的，如果 $dis[i]!=INF$ ，说明这个余数 $i$ 能取到的，并且所需最短长度就是 $dis[i]$ , 那答案就是 $Ans=max\{dis[i]\}-L$

/*
Knowledge : Rubbish Algorithm
Work by :Gym_nastics
Time : O(AC)
*/
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int Mod=1e9+7;
const int N=4e6+6;

int read() {
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f|=(ch=='-');
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    return f?-x:x;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

bool vis[N];
int n,m,L=INF,a[N],cnt,dis[N];

void SPFA(){
    memset(dis,INF,sizeof dis);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    queue<int>q;q.push(0);
    dis[0]=0;vis[0]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=false;
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            int v=(a[i]+u)%L;
            if(dis[v]>dis[u]+a[i]){
                dis[v]=dis[u]+a[i];
                if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
            }
        }
    }
}

signed main() {
   n=read();m=read();
   for(int i=1,u;i<=n;i++){u=read();
   for(int j=0;j<=m;j++) 
   if(u-j>0&&(!vis[u-j])) 
   vis[u-j]=true,a[++cnt]=u-j,
   L=min(L,u-j);}
   if(vis[1]) return puts("-1"),0;
   SPFA();int Ans=0;
   for(int i=1;i<L;i++) Ans=max(Ans,dis[i]);
   print(Ans==INF?-1:Ans-L);
   return 0;
}

P2371 [国家集训队]墨墨的等式

一般问题1

乍一看，我焯，国集，喝口水冷静一下，嗯，和跳楼机一模一样，只不过跳楼机只有 $x,y,z$ 这个是多个，相同的做法。愉快切题。

/*
Knowledge : Rubbish Algorithm
Work by :Gym_nastics
Time : O(AC)
*/
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int Mod=1e9+7;
const int N=4e7+6;

int read() {
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f|=(ch=='-');
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    return f?-x:x;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

int n,l,r,a[N],cnt,Min=INF;

int head[N],Cnt;struct node{int v,w,nxt;}e[N];
void Add_edge(int u,int v,int w){e[++Cnt]=(node){v,w,head[u]};head[u]=Cnt;}

int dis[N];bool vis[N];
void SPFA(){
    memset(dis,INF,sizeof dis);dis[0]=0;vis[0]=1;
    queue<int>q;q.push(0);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
            }
        }
    }
} 

int Query(int x){
    int res=0;
    for(int i=0;i<Min;i++) if(dis[i]<=x) res+=(x-dis[i])/Min+1;
    return res;
}

signed main() {
   n=read();l=read();r=read();
   for(int i=1,x;i<=n;i++){
       x=read();
       if(x) a[++cnt]=x,Min=min(Min,x);
   }
   for(int i=0;i<Min;i++)
   for(int j=1;j<=cnt;j++)
   if(a[j]^Min) Add_edge(i,(i+a[j])%Min,a[j]);   
   SPFA();print(Query(r)-Query(l-1));
   return 0;
}