[NOI Online 2022 普及组] 数学游戏
P8255 [NOI Online 2022 普及组] 数学游戏
\(Prat \ 0:\)
这里是 pj T2 不会做的屑
这里提供做法和证明。
\(Part \ 1:\)
设 \(\gcd(x,y)=k\)，则 \(x=k \times n \ \ y=k \times m, \ k\in N\)
$ \because z=x \times y \times \gcd(x,y)$
\(\therefore y \times gcd(x,y)=\frac{z}{x}\)
\(\therefore k^2 \times m =\frac{z}{x}\)
\(\therefore k^2 \mid \frac{z}{x}\)
\(\because x=k \times n\)
\(\therefore k^2 \mid x^2\)
\(\therefore k^2 \mid \gcd(\frac{z}{x},x^2)\)
\(Part \ 2:\)
\(\because \gcd(\frac{z}{x},x^2)=\gcd(y \times \gcd(x,y),x^2)=\gcd(k \times m \times k,(k \times n)^2)=\gcd(k^2m,k^2n^2)=\gcd(m,n^2) \times k^2\)
\(\because m,n\) 互质(若 \(n,m\) 不互质，则不满足 \(x,y\) 分解的定义)
$ \therefore \gcd(m,n^2)=1$
\(\therefore \gcd(\frac{z}{x},x^2)=k^2\)
\(Part \ 3:\)
得出结论：
-
若 \(z\) 不是 \(x\) 的倍数，无解。
-
若 \(\gcd(\frac{z}{x},x^2)\) 不是完全平方数，无解。
-
若有解，答案即为：
\(y=\frac{z}{x \cdot gcd(x,y)}=\frac{z}{x \cdot k}=\frac{z}{x \cdot \sqrt{\gcd(\frac{z}{x},x^2)}}\)
代码就不贴了。菜死了
