[NOI Online 2022 普及组] 数学游戏

P8255 [NOI Online 2022 普及组] 数学游戏

$Prat \ 0:$

这里是 pj T2 不会做的屑

这里提供做法和证明。

$Part \ 1:$

设 $\gcd(x,y)=k$，则 $x=k \times n \ \ y=k \times m, \ k\in N$

$\because z=x \times y \times \gcd(x,y)$

$\therefore y \times gcd(x,y)=\frac{z}{x}$

$\therefore k^2 \times m =\frac{z}{x}$

$\therefore k^2 \mid \frac{z}{x}$

$\because x=k \times n$

$\therefore k^2 \mid x^2$

$\therefore k^2 \mid \gcd(\frac{z}{x},x^2)$

$Part \ 2:$

$\because \gcd(\frac{z}{x},x^2)=\gcd(y \times \gcd(x,y),x^2)=\gcd(k \times m \times k,(k \times n)^2)=\gcd(k^2m,k^2n^2)=\gcd(m,n^2) \times k^2$

$\because m,n$ 互质(若 $n,m$ 不互质，则不满足 $x,y$ 分解的定义)

$\therefore \gcd(m,n^2)=1$

$\therefore \gcd(\frac{z}{x},x^2)=k^2$

$Part \ 3:$

得出结论：

• 若 $z$ 不是 $x$ 的倍数，无解。

• 若 $\gcd(\frac{z}{x},x^2)$ 不是完全平方数，无解。

• 若有解，答案即为：

  $y=\frac{z}{x \cdot gcd(x,y)}=\frac{z}{x \cdot k}=\frac{z}{x \cdot \sqrt{\gcd(\frac{z}{x},x^2)}}$

代码就不贴了。菜死了

不知道会不会存在的精度问题(click)