乘法逆元
定义：
对于正整数 \(a\)，\(n\) ，如果 \(ax \equiv 1(\bmod n)\)，那么称 \(x\) 的最小整数解为 \(a \bmod n\) 的逆元。
模运算性质：
\((a±b) \bmod p=(a \bmod p±b \bmod p) \bmod p\)
\((a \cdot b) \bmod p=(a \bmod p \cdot b \bmod p) \bmod p\)
但是是有缺陷的，
\(\frac{a}{b}\pmod p\) 是否与 \(\frac{a \bmod p}{b \bmod p}\) 相等？显然不相等。
如何解决这个问题，考虑将除法转为乘法。
那就需要找到一个 \(b_{inv}\) 使得 \(\frac{a}{b} \bmod p= a \cdot b_{inv} \bmod p\)，其实这个 \(b_{inv}\) 就是 \(b\) 在 \(\bmod p\) 意义下的乘法逆元。
性质：
设 \(\frac{a}{b} \equiv x(\bmod p)\) -------①
假设存在 \(b_{inv}\) 满足\(a \cdot b_{inv} \equiv x(\bmod p)\)-------②
①②式两边同乘一个 \(b\)
得到
\(a \equiv bx(\bmod p)\)----- ③
\(a \cdot b_{inv} \cdot b \equiv bx(\bmod p)\)------④
根据模运算减法性质将两式相减得 \(a(b_{inv} \cdot b -1) \equiv 0(\bmod p)\)
因为我们在找\(b\)得乘法逆元，所以\(a\)的值任意，所以式子相当于 \(b_{inv} \cdot b -1 \equiv 0(\bmod p)\)
即 \(b_{inv} \cdot b \equiv 1(\bmod p)\)
因此我们只需要找到满足 \(b_{inv} \cdot b \equiv 1(\bmod p)\) 的数 \(b_{inv}\)，就是 \(b\) 在 \(\bmod p\)意义下的乘法逆元。
存在条件：
是否总存在一个 \(b_{inv}\) 使式子成立？
举个例子，\(b=2，p=10\)，此时 \(2 \cdot b_{inv} \equiv 1 (\bmod 10)\)，显然不成立，所以逆元有存在条件。
由 \(b_{inv} \cdot b \equiv 1(\bmod p)\)，我们设 \(b \cdot b_{inv} = kp+1\)，设 \(g\) 为 \(gcd(b,p)\)
那我们将原式拆解开得：\(g \cdot b_1 \cdot b_{inv} = k \cdot g \cdot p_1 +1\)，合并得 \(g(b_1 \cdot b_{inv} - kp)=1\)
因为我们在正整数范围内讨论这个问题，所以只能有\(g=1\)且 \(b_1 \cdot b_{inv} - kp=1\)
以上步骤均可逆，所以乘法逆元存在的条件是当且仅当 \(b\)，\(p\) 互质。
求法：
Ⅰ.费马小定理
费马小定理：若 \(p\) 是质数，则 \(b^{p-1} \equiv 1(\bmod p)\).
我们可以将式子变形：\(b \cdot b^{p-2} \equiv 1(\bmod p)\)，所以 \(b_{inv}=b^{p-2}\)，结合快速幂模板可求解
int fast_pow(int a,int b,int mod){
int res=1; a%=mod;
while(b){
if(b&1) res=(res*a)%mod;
a=a*a%mod;b>>=1;
}
return res%mod;
}
int get(int b,int p){
retrun fast_pow(b,p-2,p);
}
Ⅱ.扩展欧几里得算法
利用费马小定理有一个弊端，就是 \(p\) 只能为质数。
扩展欧几里得算法：求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的一组 \(x\)，\(y\).
则我们要凑出扩欧的形式，求 \(a\) 在 \(\bmod p\) 意义下的乘法逆元（改字母防止混淆）
\(a \cdot a_{inv} \equiv 1(\bmod p)\)
令 \(a_{inv}\) 为扩欧的一组解，式子可以表示为 \(a \cdot a_{inv} + p \cdot y=gcd(a,p)\)
因为 \(a\)，\(p\) 互质，所以 \(gcd(a,p)=1\)，所以:
$a \cdot a_{inv} + p \cdot y=1=gcd(a,p)$
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x=1,y=0;return a;}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x; x=y; y=t-a/b*y;
return r;
}
int get(int a,int p){
int x,y;int ret=exgcd(a,p,x,y);
if(ret==1) return (x%p+p)%p;//防止出现负数
else return -1;
}
Ⅲ.线性求逆元
前面两种有点慢，毕竟每个数都求了一遍逆元，复杂度是 \(\log\) 级的。
如何求 \(\left[ 1,n \right]\)在\(\bmod p\)意义下的逆元？
保证 \(p\) 为质数，且 \(p>n\)
对于一个数 \(x\) ，由于 \(p>x\) ，设\(p=kx+r\)，\(k=\left[ \frac{p}{x} \right]\)，\(r = p \bmod x\)。
在\(\bmod p\) 意义下：
\(kx+r \equiv 0(\bmod p)\)
\(kx \equiv -r(\bmod p)\)
\(k \cdot x \cdot r_{inv } \equiv -1 \equiv -x \cdot x_{inv }(mod p)\)
\(x_{inv }= -r_{inv } \cdot k(\bmod p)\)
因为 \(r= p \bmod x < x\)，如果我们按顺序依次求逆元，则 \(r_{inv }\) 一定比 \(x_{inv }\) 先求出。
若按上等式处理，得出的结果是负数，我们可以先$+p $ 再 \(\bmod p\).
int inv[MAXN];
void init(){ inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];
inv[i]=(inv[i]%p+p)%p;
}
}
练习：
P3811 【模板】乘法逆元
