组合数

定义

我们定义 \(C_n^m\) 为在 \(n\) 个元素中选择 \(m\) 个元素的不同的组合方式，即组合数。

性质

1.计算公式：

\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

我们记 \(A_n^m\) 为在 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个元素的不同的排列方式，即排列数。

我们易得：

\[A_n^m=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

规定 \(0!=1\)
可能有人不理解这俩柿子是怎么转化的，其实很简单，从 \(1\) 一直乘到 \(n-m+1\) 不久相当于从 \(1\) 乘到 \(n\) 再除以 \(1\) 乘到 \(n-m\) 吗？

则有：

\[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

2.互补性

\[C_n^m=C_n^{n-m} \]

口胡：对于每选出 \(m\) 种元素的一种组合，都有剩余没选的 \(n-m\) 个元素组成另一种组合。

3.组合数恒等式

\[C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1} \]

通俗一点翻译过来为：在原先的 \(n\) 个元素中多加入一个元素，根据分类加法计数原理，在原先的\(C_n^m\)下，显然少了含有新元素的情况。若要放进一个新元素，要拿出一个老元素供这个新元素放置， 即加上 \(C_n^{m-1}\) 种方案。

求解

对于数据范围较小且在 \(long long\) 范围内，直接套公式求即可，但如果需重复计算，这将会浪费大量时间，可以先求出阶乘表，直接调用即可。

当然这里不是要说这个，这里要介绍的是递推求法。

基于组合数恒等式，令 \(n=n+1\)，那么式子就转化为了

\[C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1} \]

结合数学上的规定：\(C_i^0=C_1^1=1\) 和 \(C_0^0=0\) 得出递推开始条件。

\[dp[0][0]=0 \]

\[dp[i][0]=dp[1][1]=1，i \in [1,m] \]

递推式：

\[dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1] \]

Code

void init() {
	f[1][0]=f[1][1]=1;
	for(int i=2; i<=n; i++) {
	    f[i][0]=1;
	    for(int j=1; j<=i; j++) {
		f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
	    }
	}
}

类似于杨辉三角的递推式，想了解的自行查阅？