图论基础

基本概念：

一、什么是图？

很简单，点用边连起来就叫做图，

严格意义上讲，图是一种数据结构，定义为：graph=（V，E）。

V是一个非空有限集合，代表顶点（结点），E代表边的集合。

二、图的一些定义和概念

(a)有向图：图的边有方向，只能按箭头方向从一点到另一点。(a)就是一个有向图。

(b)无向图：图的边没有方向，可以双向。(b)就是一个无向图。

结点的度：无向图中与结点相连的边的数目，称为结点的度。

结点的入度：在有向图中，以这个结点为终点的有向边的数目。

结点的出度：在有向图中，以这个结点为起点的有向边的数目。

权值：边的“费用”。

连通：如果图中结点U，V之间存在一条从U通过若干条边、点到达V的通路，则称U、V 是连通的。

回路：起点和终点相同的路径，称为回路，或“环”。

完全图：一个n 阶的完全无向图含有n(n-1)/2 条边；一个n 阶的完全有向图含有n(n-1)条边；

稠密图：一个边数接近完全图的图。

稀疏图：一个边数远远少于完全图的图。

图的存储结构

1.邻接矩阵

下面是建立图的邻接矩阵的参考程序段：

#include<iostream>
using namespace std;
int i,j,k,e,n;
double g[101][101];
double w;
int main()
{
    int i,j;
    for (i = 1; i <= n; i++)
      for (j = 1; j <= n; j++)
        g[i][j] = 0x7fffffff（赋一个超大值）;  //初始化，对于不带权的图 
        g[i][j]=0，表示没有边连通。这里用0x7fffffff代替无穷大。
    cin >> e;
    for (k = 1; k <= e; k++)
    {
         cin >> i >> j >> w;             //读入两个顶点序号及权值
         g[i][j] = w;                    //对于不带权的图g[i][j]=1
         g[j][i] = w;                    //无向图的对称性,如果是有向图则不要有这句
    } 
    return 0;
}

初始化数组大可不必使用两重for循环。如果是int数组，采用memset(g, 0x7f, sizeof(g))可全部初始化为一个很大的数(略小于0x7fffffff)，使用memset(g, 0, sizeof(g))，全部清为0，使用memset(g, 0xaf, sizeof(g))，全部初始化为一个很小的数。double数组，采用memset(g,127,sizeof(g));可全部初始化为一个很大的数1.38*10306，使用memset(g, 0, sizeof(g))全部清为0。

2.数组模拟邻接表（链式前向星）

啊，我太懒了，看卷王写的吧

戳这里

要加权值的话就加一句 e[cnt].w=w;

图的遍历
从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个顶点，可以设一个标志数组vis[i]，未访问时值为false，访问一次后就改为true。

图的遍历分为深度优先遍历和广度优先遍历两种方法，两者的时间效率都是O(n)。

DFS
void dfs(int t){
    vis[t] = 1;
   // printf("%d ",t);
    for( int i=head[t];i;i=e[i].next){
        if(!vis[e[i].v]) dfs(e[i].v);
    }
} 

BFS
void bfs(int t){
    queue <int> q ;
    int u;
    q.push(t);
    while(!q.empty()){
        u=q.front();
        q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
     //   printf("%d ",u);
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            q.push(e[i].v);
        }
    }
}

欧拉路（一笔画问题）

如果一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。

我们定义奇点是指跟这个点相连的边数目有奇数个的点。对于能够一笔画的图，我们有以下两个定理。

定理1：存在欧拉路的条件：图是连通的，有且只有2个奇点。

定理2：存在欧拉回路的条件：图是连通的，有0个奇点。

两个定理的正确性是显而易见的，既然每条边都要经过一次，那么对于欧拉路，除了起点和终点外，每个点如果进入了一次，显然一定要出去一次，显然是偶点。对于欧拉回路，每个点进入和出去次数一定都是相等的，显然没有奇点。

求欧拉路的算法很简单，使用深度优先遍历即可。

根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行DFS，时间复杂度为O(m+n)，m为边数，n是点数。

哈密尔顿图

欧拉通路是指不重复地走过所有路径，而哈密尔顿通路是指不重复地走过所有的点。

哈密尔顿环是指不重复地走过所有的点，并且最后还能回到起点的回路。