『做题记录』种函数

[复旦营]种函数——最小权匹配笑传之CC标

这tm是二分图最小权匹配？？？

Description

  给定 $n$ 对整数 $(x_i,y_i)$ 和正整数 $C$ ，求一个定义域和值域都是 $Z$ 的函数 $f(x)$，满足 $\mathrm{\forall }x\in Z$，$f(x)+C=f(2f(x)-x+1)$ ，使得 $\sum |f(x_i)-y_i|$ 最小。

   $n\le {10}^4,C\le 200,x_i,y_i\le {10}^9$ 。

Solution

  s1monG场切，恐怖如斯。

  非常强的一道推导题。对于这种题我们很难一眼看懂其中要义，所以我们可以先尝试代入一些函数。我们把 $f(x)=w$ 代入原式可以得到 $f(2w-x+1)=w+C$ ，然后我们把原式中的 $x$ 替换为 $2w-x+1$ 再次代入得到 $f(2C+x)=w+2C$ ，以此类推可以得到 $f(2w+2C-x+1)=w+3C$ 。

  我们把上面推出的式 $1$ 和 式 $3$ 放在一起，式 $2$ 和式 $4$ 放在一起，不难得到 $f(x)=f(x-2C)+2C$ ，也就是说，这是个周期函数，我们可以把所有的 $x_i,y_i$ 挪到区间 $[0,2C)$ 处理。

  然后就是转化成匹配，不太会，明天问问高指。

  正确的复杂度似乎要写 km ，不会（（（

Code

点击查看代码

Summary

  遇到看不懂的东西先尝试代入一些特殊值进行运算，尝试推导出一些有用的性质，然后再根据这些性质解决问题。