『模块学习』期望值相关

引入

  概率这种东西很玄学，就比如MuelsyseU在某款《塔防游戏》中只能毒池220抽玛恩纳，但daduoli的ototo却能在抽限定池时歪出来……

  上述情况根本看不出概率的差别（不知道的甚至会以为歪出来的概率比抽毒池的高）。为了尽可能的将概率可视化， \(\color{red}{期望值\mathrm E}\) 便诞生了。 \(\mathrm E\) 在数值上可以简单理解为所有可能的值的加权平均数，这样确实比较直观（但冗长复杂的计算却恶心了无数数学家和Oier）。尽管 \(\mathrm E\) 非常难算，但有非常多的性质可以帮助我们计算。接下来就是亿堆期望值的芝士。

芝士

数学定义

  如果 \(X\) 是概率空间 \((\Omega,F,P)\) 中的随机变量，那么期望值 \(\mathrm E[X]\) 的定义为

\[\mathrm E[X] = \int_\Omega XdP \]

  如果期望值要在OI中运用， \(X\) 基本是离散随机变量，写成和式反而方便一点。对于离散随机变量 \(X\) ，输出值 \(x_i\) 对应的 \(p_i\) ，那么期望值 \(\mathrm E[X]\) 就可以计算为：

\[\mathrm E[X] = \sum_{i=1}^\infty(x_i \times p_i) \]

数学期望的线性性质

  考虑计算投一个骰子得出点数\(X\)的期望值，这个只要懂期望值定义小学生也会算：

\[\mathrm E[X] = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = 3.5 \]

  那来两个骰子呢？

  相信你会脱口而出：\(7\)

  那么这就是期望的线性性：\(\color{red}{和的期望值=期望值的和}\)

  用数学语言表示就是\(\mathrm E[\sum\limits X] = \sum\limits \mathrm E[X]\)，换句话说\(\color{red}{\mathrm E\text{是线性函数}}\)

  但是投两个骰子是两个独立事件，如果两个事件不独立呢？

  其实线性性仍然成立，因为两个事件的独立与否只关系到概率而不关系到取值，所以期望的线性性不变，但如果相互独立就会拥有积性，可感性的理解为集合相交。

  如要更详细的数学语言证明可移步here

性质总结（做题干货，不会证明）

• \(\mathrm E[X+Y] = \mathrm E[X]+\mathrm E[Y]\)（\(X,Y\)是任意的随机变量）
• \(\mathrm E[XY] = \mathrm E[X]\mathrm E[Y]\)（\(X,Y\)是相互独立的随机变量）
• \(\mathrm E[cX] = c\mathrm E[X]\)（\(X\)是任意随机变量，\(c\)为常数）
• \(\mathrm E[X] = \sum\limits_{i=1}^\infty(p_ix_i)\)（\(X\)为离散随机变量，\(x_i\)为权值，\(p_i\)为状态\(i\)概率）
• OI不考连续随机变量（

期望值相关方程解法

  来看一道题

  （虽然它 \(n \leq 33\) 但其实是因为exx的输出格式

解法1

  设 \(dp[i]\) 表示已经集齐了 \(i\) 种邮票，边界显然是 \(dp[n] = 0\) ，列出 \(dp\) 方程：

\[dp[i] = \frac in \times (dp[i]+1)+\frac{n-i}n\times(dp[i+1]+1) \]

  这是由于 \(dp[i]\) 可以有两种方式转移而来， \(dp[i]\) 再走
\(1\) 步有 \(\frac in\) 的概率原地tp选到已有的邮票， \(dp[i+1]\) 有 \(\frac{n-i}n\) 的概率出金获得未拥有的邮票，到达 \(dp[i+1]\) 。
  接下来就是喜闻乐见的化简时间：

\[\begin{array}{lrll} &dp[i] &= &\frac in \times (dp[i]+1)+\frac{n-i}n\times(dp[i+1]+1)\\ &\frac{n-i}n\times dp[i] &= &\frac{n-i}n\times dp[i]+1\\ &dp[i] &= &dp[i+1]+\frac n{n-i} \end{array} \]

  然后就可以丢掉 \(dp\) 了，因为本题答案很显然就是 \(n\sum_{i=1}^n\frac 1i\) 。
  （输出乱搞就好

解法2

  先来解决一个问题：假设daduoli考试一次有 \(\mathrm P(X)\) （只有一个事件，所以下文简写为 \(P\) ）的概率获得年级第一，请问他获得年级第一的期望考试次数是多少？
  直接拍下计算期望值的和式（已将 \(P\) 从和式中提出）：

\[\mathrm E[X]=P\sum_{i=1}^\infty i(1-P)^{i-1} \]

  令 \(S = \sum_{i=1}^\infty i(1-P)^{i-1}\) ，则：

\[\begin{array}{lrll} &S &= &\sum_{i=1}^\infty i(1-P)^{i-1}\\ &(1-P)S &= &\sum_{i=1}^\infty i(1-P)^i\\ &S-(1-P)S &= &\sum_{i=0}^\infty(1-P)^i\\ &PS &= &\frac 1{1-(1-P)} = \frac 1P\\ &S &= \frac 1{P^2} \end{array} \]

所以我们所要求daduoli获得年级第一的考试期望次数为：

\[\mathrm E[X] = PS = P\frac 1{P^2} = \frac 1P \]

  回到原问题，根据期望的线性性我们有：

\[\mathrm E[集齐所有彩票] = \sum^n_{i=1}\mathrm E[1/买一次彩票从i-1到i张邮票的概率] = n\sum_{i=1}^n\frac 1i \]

  就搞定了。
  更多题目详见『做题笔记』期望值相关

结语

  （好水一文章