数据结构 - 树 - 树的基本介绍

树的定义

树是由 $n$ 个结点构成的有限集合，在任意一棵非空树中：

• 有且仅有一个称为根 root 的结点。

• 当 $n>1$ 时，其余结点可分为若干个互不相交的集合，且这些集合中的每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树。

(1) 数据对象

数据对象 D 是具有相同特性的数据元素的集合。

(2) 数据关系

若 D 为空集，则称为空树。否则：

• D 中存在唯一称为根的数据元素；

• 当 $n>1$ 时，其余结点可分为 $m(m>0)$ 个互不相交的有限集 $T_1$，$T_2$，$\cdots$，$T_m$，其中每一棵子集本身又是一棵树，称为根的子树。

例子

对于一棵树 $T=\{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$。

$A$ 是根，其余结点划分为三个互不相交的集合：

$$T_1 = \{B,E,F\}, \quad T_2 = \{C,G\}, \quad T_3 = \{D,H,I,J\}$$

每一个集合又都是一棵树，它们是根 $A$ 的子树。对于 $T_1$，$B$ 是根，其余结点又可以划分为两个互不相交的集合。

$$T_{11} = \{E\}, \quad T_{12} = \{F\}$$

$T_{11}$ 和 $T_{12}$ 是 $B$ 的子树。

其逻辑结构可以表示为下图：

从逻辑结构上看

• 树中只有根结点没有前驱；

• 除根外，其余结点有且仅有一个前驱；

• 树中的结点，可以有零个或多个后继；

• 除根之外的其他结点，都存在唯一一条从根到该结点的路径。

• 树是一种分支结构。

树的基本术语

结点：数据元素 $+$ 若干指向子树的分支。

结点的度：分支的个数。

树的度：树中所有结点的度的最大值。

叶子结点：度为零的结点。

分支结点：度大于零的结点。

一般的树可能有隐性的序关系。

• 有序树：子树之间有明确的次序关系。

• 无序树：子树之间没有顺序要求。

（从根到结点的）路径：由从根到该结点所经过的分支和结点构成。

对结点进行一些分类上的说明。

孩子结点、子孙结点

兄弟节点、堂兄弟

双亲结点、祖先节点

结点的层次：假设根节点的层次为 $1$，在第 $k$ 层结点的子树的根结点，在第 $k+1$ 层。

树的深度：树中叶子结点所在的最大层次。

森林：$m \,(m \geqslant 0)$ 棵互不相交的树的集合。

则任何一棵非空树都是一个二元组

$$\text{Tree}=\{\text{root}, \text{F}\}$$

其中，$\text{root}$ 称为根结点，$\text{F}$ 称为子树森林。