ACM - 动态规划 - UVA323 Jury Compromise

UVA323 Jury Compromise

题解

考虑用动态规划。该问题要求解的最终状态为，选出的 $m$ 个人，使得辩方总分与控方总分差的绝对值最小，总分之和最大。即 $\left| D(\mathcal{J}) - P(\mathcal{J}) \right|$ 最小，同时 $D(\mathcal{J}) + P(\mathcal{J})$最大。

使用三维 $dp$ 数组记录状态，$dp[i][j][k]$ 表示前 $i$ 个人选出 $j$ 个人同时辩方总分和为 $k$ 时的最大总分和。

状态转移方程

根据 $dp$ 数组的状态含义，状态 $dp[i][j][k]$ 表示前 $i$ 个人选出 $j$ 个人同时总分和为 $k$ 时的最小总分差绝对值。对于第 $i$ 个人来说，我们可“选出”，也可以“不选出”。如果“选出”该人，则该状态由 $dp[i - 1][j - 1][k - d_i]$ 决定；如果“不选出”，则该状态由 $dp[i - 1][j][k]$决定。再具体考虑 $dp$ 数组的含义，可以写出状态转移方程：

$$dp[i][j][k] = \left\{ \begin{aligned} & \max(dp[i - 1][j][k], dp[i][j][k]) \\ & \max(dp[i - 1][j - 1][k - d_i], dp[i][j][k]) + d_i + p_i \end{aligned} \right.$$

状态搜索方向

从 $i$ 到 $j$ 再到 $k$，以此从小到大搜索。

初始化 $i=1$ 时的 $dp$ 数组。

程序：