数学 - 微分方程数值解 - 第 5 章 双曲型方程的差分解法 - 5.2 显式差分格式

5.2 显式差分格式

5.2.1 差分格式的建立

为了用差分方法求解 $(5.1.1) \sim (5.1.3)$，考虑求解区域

$$\Omega = \{(x,t) \, | \, 0 \leqslant x \leqslant 1,\, 0 < t \leqslant T\}$$

我们先将求解区域 $\Omega$ 进行剖分。取正整数 $m$ 和 $n$，并记 $x_i = ih,\,0 \leqslant i \leqslant m$，同时 $t_k = k \tau, \, 0 \leqslant k \leqslant n$。其中，$h = 1/m$ 和 $\tau = 1/n$，分别称 $h$ 和 $\tau$ 为空间步长和时间步长。

用两簇平行直线

$$x = x_i, \quad 0 \leqslant i \leqslant m$$

$$t = t_k, \quad 0 \leqslant k \leqslant n$$

可将 $\Omega$ 分割成矩形网格。记 $\Omega_h = \{x_i \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m\}$，$\Omega_{\tau} = \{t_k \, | \, 0 \leqslant k \leqslant n\}$，$\Omega_{h\tau} = \Omega_h \times \Omega_{\tau}$。称 $(x_i,t_k)$ 为结点，称在 $t=t_k$ 上的结点 $\{(x_i,t_k) \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m\}$ 为第 $k$ 层结点。对于定义在 $\Omega_{h \tau}$ 上的网格函数

$$v = \{v_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}$$

采用 $4.2$ 节中的记号。此外，我们记

$$\delta_t^2 = \frac{1}{\tau^2} (v_i^{k+1} - 2 v_i^k + v_i^{k-1})$$

定义在 $\Omega_{h \tau}$ 上的网格函数

$$U = \{U_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}$$

其中 $U_i^k$ 为

$$U_i^k = u(x_i,t_k), \quad 0 \leqslant i \leqslant m, \quad 0 \leqslant k \leqslant n$$

在结点 $(x_i,t_k)$ 上考虑定解问题 $(5.1.1)$，有

$$\frac{\partial^2 u(x_i, t_k)}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u(x_i,t_k)}{\partial x^2} = f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m - 1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n - 1 \tag{5.2.1}$$

将

$$\begin{align*} \frac{\partial^2 u(x_i, t_k)}{\partial x^2} & = \frac{u(x_{i-1}, t_k) - 2 u(x_i, t_k) + u(x_{i+1}, t_k)}{h^2} - \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u(\xi_{ik}, t_k)}{\partial x^4}\\ & = \delta_x^2 U_i^k - \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u(\xi_{ik}, t_k)}{\partial x^4}, \quad x_{i-1} < \xi_{ik} < x_{i+1} \tag{5.2.2} \end{align*}$$

和

$$\begin{align*} \frac{\partial^2 u(x_i, t_k)}{\partial t^2} & = \frac{u(x_{i}, t_{k-1}) - 2 u(x_i, t_k) + u(x_{i}, t_{k+1})}{\tau^2} - \frac{\tau^2}{12} \frac{\partial^4 u(x_i, \eta_{ik})}{\partial t^4}\\ & = \delta_t^2 U_i^k - \frac{\tau^2}{12} \frac{\partial^4 u(x_{i}, \eta_{ik})}{\partial t^4}, \quad t_{k-1} < \eta_{ik} < t_{k+1} \tag{5.2.3} \end{align*}$$

代入式 $(5.2.1)$ 可得

$$\delta_t^2 U_i^k - a^2 \delta_x^2 U_i^k = f(x_i, t_k) + \frac{\tau^2}{12} \frac{\partial^4 u(x_{i}, \eta_{ik})}{\partial t^4} - a^2 \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u(\xi_{ik}, t_k)}{\partial x^4}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{5.2.4}$$

由初值条件 $(5.1.2)$，我们有

$$U_i^0 = \varphi(x_i), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1 \tag{5.2.5}$$

由方程 $(5.1.1)$ 可知（貌似需要函数 $f$ 连续）

$$\frac{\partial^2 u(x,0) }{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u(x,0)}{\partial x^2} + f(x,0) = a^2 \varphi''(x) + f(x,0)$$

根据带积分余项的 $\text{Taylor}$ 展开式以及 $(5.1.2)$ 可得

$$\begin{align*} U_i^1 & = u(x_i, t_0) + \tau \frac{\partial u(x_i, t_0)}{\partial t} + \frac{1}{2} \tau^2 \frac{\partial^2 u(x_i, t_0)}{\partial t^2} + \frac{1}{2} \int_0^{\tau} (\tau - t)^2 \frac{\partial^3 u(x_i, t)}{\partial t^3} \, \mathrm{d} t \\ & = \varphi(x_i) + \tau \psi(x_i) + \frac{1}{2} \tau^2 [a^2 \varphi''(x_i) + f(x_i,t_0)] + \frac{1}{2} \int_0^{\tau} (\tau - t)^2 \frac{\partial^3 u(x_i, t)}{\partial t^3} \, \mathrm{d} t, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1 \tag{5.2.6} \end{align*}$$

由边值条件 $(5.1.3)$ 有

$$U_0^k = \alpha(t_k), \quad U_m^k = \beta(t_k), \quad 0 \leqslant k \leqslant n \tag{5.2.7}$$

在式 $(5.2.4) \sim (5.2.7)$ 中略去小量项

$$R_{ik}^{(1)} = \frac{\tau^2}{12} \frac{\partial^4 u(x_{i}, \eta_{ik})}{\partial t^4} - a^2 \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u(\xi_{ik}, t_k)}{\partial x^4}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{5.2.8}$$

和小量项

$$r_i^{(1)} = \frac{1}{2} \int_0^{\tau} (\tau - t)^2 \frac{\partial^3 u(x_i, t)}{\partial t^3} \, \mathrm{d} t, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1 \tag{5.2.9}$$

并用 $u_i^k$ 代替 $u(x_i,t_k)$，可对问题 $(5.1.1) \sim (5.1.3)$ 建立如下差分格式：

$$\delta_t^2 u_i^k - a^2 \delta_x^2 u_i^k = f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{5.2.10}$$

$$u_i^0 = \varphi(x_i), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1 \tag{5.2.11}$$

$$u_i^1= \varphi(x_i) + \tau \psi(x_i) + \frac{\tau^2}{2} [a^2 \varphi''(x_i) + f(x_i,t_0)], \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1 \tag{5.2.12}$$

$$u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k), \quad 0 \leqslant k \leqslant n \tag{5.2.13}$$

差分格式 $(5.2.10) \sim (5.2.13)$ 的结点图见下图，它是一个三层五点显式差分格式。

注意，我们可以

5.2.2 差分格式的求解

我们记

$$u^k = (u_0^k, u_1^k, \cdots, u_m^k)$$

则由 $(5.2.11) \sim (5.2.13)$ 可知 $u_0$ 和 $u_1$ 已完全确定，现设 $u^{k-1}$ 和 $u^k$ 是确定的。令 $s$ 为步长比，定义如下：

$$s = \frac{a \tau}{h}$$

则由式子 $(5.2.10)$ 可得

$$u_i^{k+1} = s^2 u_{i-1}^k + 2(1-s^2)u_i^k + s^2 u_{i+1}^k - u_i^{k-1} + \tau^2 f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1$$

由此可将式 $(4.2.10)$ 进一步写成如下矩阵形式：

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} u_1^{k+1}\\ u_2^{k+1}\\ \vdots\\ u_{m-2}^{k+1}\\ u_{m-1}^{k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1-s^2) & s^2 \\ s^2 & 2(1-s^2) & s^2 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & s^2 & 2(1-s^2) & s^2 \\ & & & s^2 & 2(1-s^2) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1^k \\ u_2^k \\ \vdots \\ u_{m-2}^k \\ u_{m-1}^k \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_1^{k-1} \\ u_2^{k-1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{k-1} \\ u_{m-1}^{k-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \tau^2 f(x_1, t_k) + s^2 u_0^k \\ \tau^2 f(x_2, t_k) \\ \vdots \\ \tau^2 f(x_{m-2}, t_k) \\ \tau^2 f(x_{m-1}, t_k) + s^2 u_m^k \end{bmatrix}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \end{align*}$$

5.2.3 差分格式解的先验估计式

下述定理给出了差分格式解的先验估计式。

定理 5.2.1

考虑如下差分方程组

$$\delta_t^2 u_i^k - a^2 \delta_x^2 u_i^k = f_i^k, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{5.2.14}$$

$$u_i^0 = \varphi_i, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1 \tag{5.2.15}$$

$$u_i^1 = \psi_i, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1 \tag{5.2.16}$$

$$u_0^k = 0, \quad u_m^k = 0, \quad 0 \leqslant k \leqslant n \tag{5.2.17}$$

设 $\{u_i^k\}$ 为上述差分方程组的解，则当 $s < 1$ 时，有

$$(1-s^2) h \sum_{i=1}^{m-1} (\delta_t u_i^{k+1})^2 + a^2 |u^{k+\frac{1}{2}}|_1^2 \leqslant e^{\frac{3}{2}k\tau} \left[ h \sum_{i=1}^{m-1}(\delta_t u_i^{\frac{1}{2}})^2 + a^2 h \sum_{i=0}^{m-1} (\delta_x u_{i+\frac{1}{2}}^1) \cdot (\delta_x u_{i+\frac{1}{2}}^0) + \frac{3 \tau}{2 (1 - s^2)} \sum_{l=1}^k \|g^l\|^2 \right], \quad 0 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{5.2.18}$$

其中

$$\|g^k\|^2 = h \sum_{i=1}^{m-1} (g_i^k)^2$$

证明：

证毕。

5.2.4 差分格式解的存在性与唯一性

5.2.5 差分格式解的收敛性与稳定性