数学 - 微分方程数值解 - 第 5 章 双曲型方程的差分解法 - 5.1 Dirichlet 初边值问题

5.1 Dirichlet 初边值问题

以波动方程为模型，讨论如下 Dirichlet 初边值问题（第一边值问题）的差分解法。

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x,t), \quad 0 < x < 1, \quad 0 < t \leqslant T \tag{5.1.1} \]

\[u(x,0) = \varphi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \psi(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant 1 \tag{5.1.2} \]

\[u(0,t) = \alpha(t), \quad u(1,t) = \beta(t), \quad 0<t\leqslant T \tag{5.1.3} \]

其中，\(a\) 为正常数，\(f(x,t)\)、\(\varphi(x)\)、\(\psi(x)\)、\(\alpha(t)\)、\(\beta(t)\) 为已知函数，且 \(\varphi(0) = \alpha(0)\)，\(\varphi(1)=\beta(0)\)，\(\psi(0) = \alpha'(0)\)，\(\psi(1)=\beta'(0)\)，称 \((5.1.2)\) 为初值条件，称 \((5.1.3)\) 为边值条件。