数学 - 微分方程数值解 - 第 4 章 抛物型方程的差分解法 - 4.4 Richardson 格式

4.4 Richardson 格式

向前 Euler 格式和向后 Euler 格式的收敛阶均为 $O(\tau + h^2)$，记关于时间步长 $\tau$ 是一阶的，关于空间步长 $h$ 是二阶的。为了使得收敛阶提高到 $O(\tau^2 + h^2)$，一个很自然的想法是用关于时间 $t$ 的一阶中心差商去近似关于时间的导数。

4.4.1 差分格式的建立

在结点处考虑定解问题 $(4.1.1)$，有

$$\frac{\partial u}{\partial t}(x_i, t_k) - a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i, t_k) = f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{4.4.1}$$

将式子

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i, t_k) = \delta_x^2 U_i^k - \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} (\xi_{ik}, t_k), \quad x_{i-1} < \xi_{ik} < x_{i+1}$$

和式子

$$\frac{\partial u}{\partial t}(x_i, t_k) = D_{\hat{t}} U_i^k - \frac{\tau^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial t^3}(x_i,\tilde{\eta}_{ik}), \quad t_{k-1} < \tilde{\eta}_{ik} < t_{k+1}$$

代入到式 $(4.4.1)$ 得到

$$D_{\hat{t}} U_i^k - a \delta_x^2 U_i^k = f(x_i, t_k) + \frac{\tau^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial t^3}(x_i,\tilde{\eta}_{ik}) - \frac{a h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} (\xi_{ik}, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{4.4.2}$$

注意到初边值条件 $(4.1.2)$ 和 $(4.1.3)$，有

$$U_i^0 = u(x_i, 0) = \varphi(x_i), \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.4.3}$$

$$U_0^k = \alpha(t_k), \quad U_m^k = \beta(t_k), \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.4.4}$$

在 $(4.3.2) \sim (4.3.4)$ 中略去小量项

$$R_{ik}^{(3)} = \frac{\tau^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial t^3}(x_i, \tilde{\eta}_{ik}) - \frac{a h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} (\xi_{ik}, t_k)$$

并用 $u_i^k$ 代替 $U_i^k$，得到如下差分格式

$$D_{\hat{t}} u_i^k - a \delta_x^2 u_i^k = f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1 \tag{4.4.5}$$

$$u_i^0 = \varphi(x_i), \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.4.6}$$

$$u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k), \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.4.7}$$

称差分格式 $(4.4.5) \sim (4.4.7)$ 为 Richardson 格式。称 $R_{ik}^{(3)}$ 为差分格式 $(4.4.5)$ 的局部截断误差。显然 Richardson 格式是一个显式格式。

4.4.2 差分格式的求解

差分格式 $(4.4.5) \sim (4.4.7)$ 可写成

$$u_i^{k+1} = 2r (u_{i-1}^k - 2 u_i^k + u_{i+1}^k) + u_i^{k-1} + 2 \tau f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n-1$$

应用 Richardson 格式计算第 $k+1$ 层上的值时，需要用到第 $k$ 层和第 $k-1$ 层上的值，它是一个三层格式。实际计算时，当第 $0$ 层和第 $1$ 层上的值已知时，可依此求出第 $2$ 层、第 $3$ 层、$\cdots$，直到第 $n$ 层的值，现第 $0$ 层的值已由 $(4.4.6)$ 给出，第 $1$ 层的值如何给出呢？

由方程 $(4.1.1)$ 以及初值条件 $(4.1.2)$，有