数学 - 微分方程数值解 - 第 4 章 抛物型方程的差分解法 - 4.3 向后 Euler 格式

4.3 向后 Euler 格式

向前 $\text{Euler}$ 格式要求步长比 $r \leqslant 1/2$，时间步长比空间步长必须小得多，下面介绍一个无条件稳定的差分格式。

4.3.1 差分格式的建立

(1) 建立差分格式

在结点处考虑定解问题 $(4.1.1)$，有

$$\frac{\partial u}{\partial t}(x_i,t_k) - a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_k)=f(x_i,t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n$$

将

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_k) = \delta_x^2 U_i^k - \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ik},t_k), \quad x_{i-1} < \xi_{ik} < x_{i+1}$$

和

$$\frac{\partial u}{\partial t} (x_i,t_k) = D_{\bar{t}} U_i^k +\frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,\bar{\eta}_{ik}), \quad t_{k-1} < \bar{\eta}_{ik} < t_k$$

代入，得到

$$D_{\bar{t}} U_i^k - a \delta_x^2 U_i^k = f(x_i,t_k) - \frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,\bar{\eta}_{ik}) - \frac{a h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ik},t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.1}$$

注意到初边值条件 $(4.1.2)$ 和 $(4.1.3)$，得到

$$U_i^0 = \varphi(x_i), \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.2}$$

$$U_0^k = \alpha(t_k), \quad U_m^k = \beta(t_k), \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.3}$$

在 $(4.3.1) \sim (4.3.2)$ 中略去小量项得到

$$R_{ik}^{(2)} = - \frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,\bar{\eta}_{ik}) - \frac{a h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ik},t_k) \tag{4.3.4}$$

并用 $u_i^k$ 代替 $U_i^k$ 得到如下差分格式

$$D_{\bar{t}} u_i^k - a \delta_x^2 u_i^k = f(x_i,t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.5}$$

$$u_i^0 = \varphi(x_i), \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.6}$$

$$u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k), \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.7}$$

称差分格式 $(4.3.5) \sim (4.3.7)$ 为向后 $\text{Euler}$ 格式。

(2) 局部截断误差

$R_{ik}^{(2)}$ 被称为差分格式 $(4.3.5)$ 的局部截断误差，利用 $(4.2.9)$ 可记

$$c_1 = \max \left\{ \frac{1}{2} \max_{0\leqslant x \leqslant 1\\0\leqslant t \leqslant T} \left| \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)\right|\, , \, \frac{a}{12} \max_{0\leqslant x \leqslant 1\\0\leqslant t \leqslant T} \left| \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(x,t)\right| \right\}$$

可以得到

$$|R_{ik}^{(2)}| \leqslant c_1 (\tau + h^2), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.8}$$

4.3.2 差分格式的求解

我们记

$$u^k = (u_0^k, u_1^k, \cdots, u_{m-1}^k, u_{m}^k)$$

由 $(4.3.6)$ 知第 $0$ 层上的值 $u^0$ 已知，设已经确定出第 $k-1$ 层的值 $u^{k-1}$，则关于第 $k$ 层值的差分格式为

$$D_{\bar{t}} u_i^k - a \delta_x^2 u_i^k = f(x_i,t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1$$

$$u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k)$$

进一步有

$$-r u_{i-1}^k + (1 + 2r) u_i^k - r u_{i+1}^k = u_i^{k-1} + \tau f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1$$

$$u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k)$$

可将上式写成如下的矩阵形式

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} 1-2r & -r \\ -r & 1-2r & -r \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -r & 1-2r & -r \\ & & & -r & 1-2r \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1^{k} \\ u_2^{k} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{k} \\ u_{m-1}^{k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1^{k-1} \\ u_2^{k-1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{k-1} \\ u_{m-1}^{k-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \tau f(x_1, t_k) + r u_0^k \\ \tau f(x_2, t_k) \\ \vdots \\ \tau f(x_{m-2}, t_k) \\ \tau f(x_{m-1}, t_k) + r u_m^k \end{bmatrix} \end{align*} \tag{4.3.9}$$

由 $(4.3.9)$ 可以看到在每一个时间层上只要解一个三对角线性方程组即可。

4.3.3 差分格式解的先验估计式

定理 4.3.1

设 $\{u_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}$ 为差分方程组

$$D_{\bar{t}} u_i^k - a \delta_x^2 u_i^k = g_i^k, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.10}$$

$$u_i^0 = \varphi_i, \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.11}$$

$$u_0^k = 0, \quad u_m^k = 0, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.12}$$

的解，则对任意步长比 $r$，有

$$\|u^k\|_{\infty} \leqslant \| \varphi \|_{\infty} + \tau \sum_{l=1}^k \|g^l\|_{\infty}, \quad 0 \leqslant k \leqslant n$$

其中，$\|g^l\|_{\infty} = \max_{1 \leqslant i \leqslant m-1} |g_i^l|$。

证明：将第一个式子写成

$$(1+2r) u_i^k = r(u_{i-1}^k + u_{i+1}^k) + u_i^{k-1} + \tau g_i^k, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n$$

则有

$$(1+2r) |u_i^k| \leqslant r(|u_{i-1}^k| + |u_{i+1}^k|) + |u_i^{k-1}| + \tau |g_i^k| \leqslant 2r \|u^k\|_{\infty} + \|u^{k-1}\|_{\infty} + \tau \|g^k\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n$$

于是

$$(1+2r) \|u^k\|_{\infty} \leqslant 2r \|u^k\|_{\infty} + \|u^{k-1}\|_{\infty} + \tau \|g^k\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n$$

化简可得

$$\|u^k\|_{\infty} \leqslant \|u^{k-1}\|_{\infty} + \tau \|g^k\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n$$

递推可得

$$\|u^k\|_{\infty} \leqslant \|u^0\|_{\infty} + \tau \sum_{l=1}^{k-1} \|g^l\|_{\infty} = \|\varphi\|_{\infty} + \tau \sum_{l=1}^{k-1} \|g^l\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n$$

证毕。

4.3.4 差分格式解的存在性和唯一性

定理 4.3.2

差分格式 $(4.3.5) \sim (4.3.7)$ 的解存在且唯一。

证明：易见差分格式 $(4.3.5) \sim (4.3.7)$ 需求解的矩阵形式 $(4.3.9)$ 其系数矩阵是严格对角占优的，因而存在唯一解。

证毕。

4.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性

(1) 收敛性

给出差分格式的收敛性的相关定理。

定理 4.3.3

设 $\{u(x,t) \, | \, 0 \leqslant x \leqslant 1, \, 0 \leqslant t \leqslant T\}$ 为定解问题 $(4.1.1) \sim (4.1.3)$ 的解，$\{u_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}$ 为差分格式 $(4.3.5) \sim (4.3.7)$ 的解，则对任意步长比 $\tau$，有

$$\max_{0 \leqslant i \leqslant m} |u(x_i, t_k) - u_i^k| \leqslant c_1 T(\tau + h^2), \quad 0 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.13}$$

其中，$c_1$ 由式 $(4.2.9)$ 定义。

证明：记误差

$$e_i^k = u(x_i,t_k) - u_i^k, \quad 0 \leqslant i \leqslant m, \quad 0 \leqslant k \leqslant n$$

将式 $(4.3.1) \sim (4.3.3)$ 分别与式 $(4.3.5) \sim (4.3.7)$ 相减，得到误差方程为

$$D_{\bar{t}} e_i^k - a \delta_x^2 e_i^k = R_{ik}^{(2)}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.14}$$

$$e_i^0 = 0, \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.15}$$

$$e_0^k = 0, \quad e_m^k = 0, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.16}$$

应用定理 $4.3.1$ 并注意到式 $(4.3.8)$，可得

$$\|e^k\|_{\infty} \leqslant \tau \sum_{l=1}^k \max_{1\leqslant i \leqslant m-1} |R_{il}^{(2)}| \leqslant \tau \cdot k \cdot c_1 (\tau + h^2) \leqslant c_1 T(\tau + h^2), \quad 0 \leqslant k \leqslant n$$

证毕。

(2) 稳定性

给出差分格式的稳定性的相关定理

定理 4.3.4

差分格式 $(4.3.5) \sim (4.3.7)$ 对任意步长比 $\tau$ 关于初值和右端项在下述意义下是稳定的：设 $\{u_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}$ 为差分方程

的解