数学 - 微分方程数值解 - 第 4 章 抛物型方程的差分解法 - 4.1 Dirichlet 边值问题

4.1 Dirichlet 边值问题

该节着重介绍有界域上抛物方程 Dirichlet 初边值问题的差分解法，包括如何建立差分格式、如何求解差分格式以及差分格式的收敛性和稳定性等问题。

考虑一维非齐次热传导方程 Dirichlet 初边值问题（第一边界值问题）

$$\frac{\partial u}{\partial t} - a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x,t), \quad 0<x<1, \quad 0< t \leqslant T \tag{4.1.1}$$

$$u(x,0) = \varphi(x), \quad 0\leqslant x \leqslant 1 \tag{4.1.2}$$

$$u(0,t)=\alpha(t), \quad u(1,t)=\beta(t), \quad 0<t \leqslant T \tag{4.1.3}$$

4.1.1 解的先验估计式