数学 - 数学分析 - VII.2 微分

VII.2 微分

在这一节中，我们介绍“微分”和“导数”的这两个核心概念，

在之后的介绍中，设

$E=(E,\|\cdot\|)$ 和 $F = (F,\|\cdot\|)$ 是域 $\mathbb{K}$ 上的 $\text{Banach}$ 空间。$X$ 是 $E$ 上的开子集。

定义

函数 $f:X \to F$ 在点 $x_0 \in X$ 可导当且仅当存在 $A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)$ 使得

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - A_{x_0}(x - x_0)}{\|x-x_0\|} = 0 \tag{2.1}$$

下面的定理对这个定义做了进一步的解释。

2.1 Proposition

令 $f:X \to F$ 和 $x_0 \in X$。

(1) 以下表述等价：

($\alpha$) $f$ 在点 $x_0$ 可微。

($\beta$) 存在 $A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)$ 和 $r_{x_0}:X \to F$，这里 $r_{x_0}$ 在点 $x_0$ 连续且满足 $r_{x_0}(x_0) = 0$，使得

$$f(x) = f(x_0) + A_{x_0} (x-x_0) + r_{x_0}(x) \|x-x_0\|, \quad \forall x \in X$$

($\gamma$) 存在 $A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)$ 使得

$$f(x) = f(x_0) + A_{x_0} (x-x_0) + o(\|x-x_0\|) \quad (x \to x_0)$$

(2) 如果 $f$ 在点 $a$ 可微，则 $f$ 在点 $x_0$ 连续。

(3) 设 $f$ 在点 $a$ 可微，则线性算子 $A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)$ 被唯一确定。

导数

设 $f:X \to F$ 在点 $x_0 \in X$ 可微，则我们将由式 $(2.1)$ 唯一确定的线性算子 $A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)$ 记作 $\partial f(x_0)$，这也被称为 $f$ 在点 $x_0$ 的导数，也被写作

$$D f(x_0), \quad f'(x_0)$$

因此 $\partial f(x_0) \in \mathcal{L}(E,F)$，且

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - \partial f(x_0) (x - x_0)}{\|x-x_0\|} = 0$$