数学 - 数学分析 - VII.2 微分

VII.2 微分

在这一节中，我们介绍“微分”和“导数”的这两个核心概念，

在之后的介绍中，设

\(E=(E,\|\cdot\|)\) 和 \(F = (F,\|\cdot\|)\) 是域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(\text{Banach}\) 空间。\(X\) 是 \(E\) 上的开子集。

定义

函数 \(f:X \to F\) 在点 \(x_0 \in X\) 可导当且仅当存在 \(A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)\) 使得

\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - A_{x_0}(x - x_0)}{\|x-x_0\|} = 0 \tag{2.1} \]

下面的定理对这个定义做了进一步的解释。

2.1 Proposition

令 \(f:X \to F\) 和 \(x_0 \in X\)。

(1) 以下表述等价：

(\(\alpha\)) \(f\) 在点 \(x_0\) 可微。

(\(\beta\)) 存在 \(A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)\) 和 \(r_{x_0}:X \to F\)，这里 \(r_{x_0}\) 在点 \(x_0\) 连续且满足 \(r_{x_0}(x_0) = 0\)，使得

\[f(x) = f(x_0) + A_{x_0} (x-x_0) + r_{x_0}(x) \|x-x_0\|, \quad \forall x \in X \]

(\(\gamma\)) 存在 \(A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)\) 使得

\[f(x) = f(x_0) + A_{x_0} (x-x_0) + o(\|x-x_0\|) \quad (x \to x_0) \]

(2) 如果 \(f\) 在点 \(a\) 可微，则 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续。

(3) 设 \(f\) 在点 \(a\) 可微，则线性算子 \(A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)\) 被唯一确定。

导数

设 \(f:X \to F\) 在点 \(x_0 \in X\) 可微，则我们将由式 \((2.1)\) 唯一确定的线性算子 \(A_{x_0} \in \mathcal{L}(E,F)\) 记作 \(\partial f(x_0)\)，这也被称为 \(f\) 在点 \(x_0\) 的导数，也被写作

\[D f(x_0), \quad f'(x_0) \]

因此 \(\partial f(x_0) \in \mathcal{L}(E,F)\)，且

\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - \partial f(x_0) (x - x_0)}{\|x-x_0\|} = 0 \]