数学 - 数学分析 - IV.1 微分

IV.1 微分

如之前章节提到的，我们发展微分的目的是为了用线性近似描述函数的局部行为。

在之后的介绍中，\(X \subset \mathbb{K}\) 是一个集合，\(a \in X\) 是 \(X\) 上的极限点且 \(E := (E,\|\cdot\|)\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的赋范线性空间。

可导

函数 \(f:X \to E\) 被称为在 \(a\) 点可微如果在 \(E\) 中存在下述极限

\[f'(a) := \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \]

当上述成立时，\(f'(a) \in E\) 被称为 \(f\) 在点 \(a\) 的导数，除了记号 \(f'(a)\)，我们还有其他记号：

\[\dot{f}(a), \quad \partial f(a), \quad Df(a), \quad \frac{df}{dx} (a) \]

在我们系统介绍可微函数之前，我们提供一些对这个定义的等价刻画。

1.1 Theorem

对 \(f:X \to E\)，以下表述等价：

(1) 函数 \(f\) 在点 \(a\) 可微。

(2) 存在 \(m_a \in E\)，使得

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) - m_a (x-a)}{x-a} = 0 \]

(3) 存在 \(m_a \in E\) 和函数 \(r : X \to E\)，函数 \(r\) 在点 \(a\) 连续且使得 \(r(a)=0\) 和

\[f(x) = f(a) + m_a (x-a) + r(x) (x-a), \quad x \in X \]

在例子 (2) 和 (3) 中，\(m_a = f'(a)\)。

证明：

证毕。

1.2 Corollary

若 \(f:X \to E\) 在点 \(a\) 可微，则 \(f\) 在点 \(a\) 连续。

Corollary 1.2 的逆命题是错的，即存在这样的一个函数，它连续但不可微。

线性近似

令 \(f:X \to E\) 在点 \(a\) 可微，则函数

\[g: \mathbb{K} \to E, \quad x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a) \]

是仿射，且 \(g(a) = f(a)\)。由 Theorem 1.1 知

\[\lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-g(x)\|}{|x-a|} = 0 \]

因此 \(f\) 和 \(g\) 在点 \(a\) 重合，且误差 \(\|f(x) - g(x)\|\) 在 \(x \to a\) 时比 \(|x-a|\) 趋近于 \(0\) 的速度更快。这些观察给了我们以下定义：函数 \(f : X \to E\) 被称为在点 \(a\) 的近似线性当且仅当存在一个函数 \(g:\mathbb{K} \to E\) 使得

\[f(a) = g(a), \quad \lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-f(a)\|}{|x-a|} = 0 \]

下面的推论表明近似线性的性质与可微事实上是等价的。

1.3 Corollary

函数 \(f:X \to E\) 在点 \(a\) 可微当且仅当它在点 \(a\) 近似线性。在这个表述下，近似函数 \(g\) 是唯一的，且形式为

\[g:\mathbb{K} \to E, \quad x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a) \]

证明：

证毕。

1.4 Remarks

(a) 假设函数 \(f:X \to E\) 在点 \(a\) 可微，按之前所说，定义 \(g(x):= f(a) + f'(a)(x-a),\,x\in\mathbb{K}\)，则 \(g\) 的图像是一条穿过 \((a,f(a))\) 的直线，可视为是 \(f\) 的图像在点 \((a,f(a))\) 的近似。这条线被称为 \(f\) 在点 \((a,f(a))\) 的切线。

表达式

\[\frac{f(y) - f(a)}{y - a}, \quad y \neq a \]

被称为 \(f\) 的差商。仿射函数

\[h(x) := f(a) + \frac{f(y) - f(a)}{y - a} (x - a), \quad x \in \mathbb{K} \]

的图像被称为穿过 \((a,f(a))\) 和 \((y,f(y))\) 的割线。

(b) 令 \(X = J \subset \mathbb{R}\) 是一个区间，且 \(E = \mathbb{R}^3\)，假设 \(f(t)\) 在时间 \(t\) 给出了空间中一个点的位置，则 \(|f(t) - f(t_0)|/|t-t_0|\) 是时间 \(t_0\) 到 \(t\) 这段时间的平均速度的绝对值，\(\dot{f}(t_0)\) 表示在时间 \(t_0\) 时的瞬时速率。

(c)

(1) 设 \(\mathbb{K} = E = \mathbb{R}\) 且 \(f: X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是在点 \(a\) 的可微函数，将 \(f\) 视为从 \(\mathbb{C}\) 到 \(\mathbb{C}\) 的函数，即令

\[f_{\mathbb{C}} : X \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \quad f_{\mathbb{C}}(x) := f(x), \quad x \in X \]

则 \(f_{\mathbb{C}}\) 也在点 \(a\) 可微，且 \(f'_{\mathbb{C}}(a) = f'(a)\)。

(2) 设 \(\mathbb{K} = E = \mathbb{C}\)，且 \(f:X \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) 是一个在点 \(a \in Y := X \cap \mathbb{R}\) 可微，同时也设 \(a\) 是 \(Y\) 的一个极限点且 \(f(Y) \subseteq \mathbb{R}\)，则 \(f|Y:Y \to \mathbb{R}\) 在点 \(a\) 可微且 \((f|Y)'(a) = f'(a)\)。

微分的规则

1.5 Proposition

令 \(E_1\)，\(\cdots\)，\(E_n\) 是赋范线性空间，且 \(E := E_1 \times \cdots \times E_n\)，则函数 \(f = (f_1, \cdots, f_n):X \to E\) 在点 \(a\) 可微当且仅当对每一个分量函数 \(f_j : X \to E_j\) 在点 \(a\) 可微，即是说，

\[\partial f(a) = (\partial f_1(a), \cdots, \partial f_n(a)) \]

因此向量能够逐分量进行微分。

证明：

证毕。

下面的定理给出计算微分的进一步规则。

1.6 Theorem

(1) (线性性) 令 \(f,g:X \to E\) 在点 \(a\) 可微且 \(\alpha,\beta \in \mathbb{K}\)，则函数 \(\alpha f + \beta g\) 在点 \(a\) 也可微，且

\[(\alpha f + \beta g)'(a) = \alpha f'(a) + \beta g'(a) \]

换句话说，在点 \(a\) 所有可微函数构成的集合形成了 \(E^X\) 的子空间 \(V\)，且函数 \(V \to E, \, f \mapsto f'(a)\) 是线性映射。

(2) (乘法规则) 令 \(f,g : X \to \mathbb{K}\) 在点 \(a\) 可微，则函数 \(f \cdot g\) 在点 \(a\) 也可微，且

\[(f \cdot g)' (a) = f'(a) g(a)+ f(a) g'(a) \]

则在点 \(a\) 的可微函数集合构成了 \(\mathbb{K}^X\) 的子代数。

(3) (除法规则) 令 \(f,g : X \to \mathbb{K}\) 在点 \(a\) 可微且 \(g(a) \neq 0\)，则函数 \(f/g\) 也在点 \(a\) 可微并且

\[\left( \frac{f}{g} \right)'(a) = \frac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{[g(a)]^2} \]

证明：

证毕。

链式法则

我们经常用简单函数的复合来表示复杂函数，下面的规则表明可以对这类函数的微分进行组合。

1.7 Theorem

设 \(f:X \to \mathbb{K}\) 在点 \(a\) 可微，且 \(f(a)\) 是 \(Y\) 的极限点，且有 \(f(X) \subseteq Y \subseteq \mathbb{K}\)，若 \(g:Y \to E\) 在点 \(f(a)\) 可微，则 \(g \circ f\) 在点 \(a\) 可微且

\[(g \circ f)' (a) = g'(f(a)) f'(a) \]

证明：

证毕。

反函数