数学 - 数学分析 - IV.1 微分

IV.1 微分

如之前章节提到的，我们发展微分的目的是为了用线性近似描述函数的局部行为。

在之后的介绍中，$X \subset \mathbb{K}$ 是一个集合，$a \in X$ 是 $X$ 上的极限点且 $E := (E,\|\cdot\|)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的赋范线性空间。

可导

函数 $f:X \to E$ 被称为在 $a$ 点可微如果在 $E$ 中存在下述极限

$$f'(a) := \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

当上述成立时，$f'(a) \in E$ 被称为 $f$ 在点 $a$ 的导数，除了记号 $f'(a)$，我们还有其他记号：

$$\dot{f}(a), \quad \partial f(a), \quad Df(a), \quad \frac{df}{dx} (a)$$

在我们系统介绍可微函数之前，我们提供一些对这个定义的等价刻画。

1.1 Theorem

对 $f:X \to E$，以下表述等价：

(1) 函数 $f$ 在点 $a$ 可微。

(2) 存在 $m_a \in E$，使得

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) - m_a (x-a)}{x-a} = 0$$

(3) 存在 $m_a \in E$ 和函数 $r : X \to E$，函数 $r$ 在点 $a$ 连续且使得 $r(a)=0$ 和

$$f(x) = f(a) + m_a (x-a) + r(x) (x-a), \quad x \in X$$

在例子 (2) 和 (3) 中，$m_a = f'(a)$。

证明：

证毕。

1.2 Corollary

若 $f:X \to E$ 在点 $a$ 可微，则 $f$ 在点 $a$ 连续。

Corollary 1.2 的逆命题是错的，即存在这样的一个函数，它连续但不可微。

线性近似

令 $f:X \to E$ 在点 $a$ 可微，则函数

$$g: \mathbb{K} \to E, \quad x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a)$$

是仿射，且 $g(a) = f(a)$。由 Theorem 1.1 知

$$\lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-g(x)\|}{|x-a|} = 0$$

因此 $f$ 和 $g$ 在点 $a$ 重合，且误差 $\|f(x) - g(x)\|$ 在 $x \to a$ 时比 $|x-a|$ 趋近于 $0$ 的速度更快。这些观察给了我们以下定义：函数 $f : X \to E$ 被称为在点 $a$ 的近似线性当且仅当存在一个函数 $g:\mathbb{K} \to E$ 使得

$$f(a) = g(a), \quad \lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-f(a)\|}{|x-a|} = 0$$

下面的推论表明近似线性的性质与可微事实上是等价的。

1.3 Corollary

函数 $f:X \to E$ 在点 $a$ 可微当且仅当它在点 $a$ 近似线性。在这个表述下，近似函数 $g$ 是唯一的，且形式为

$$g:\mathbb{K} \to E, \quad x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a)$$

证明：

证毕。

1.4 Remarks

(a) 假设函数 $f:X \to E$ 在点 $a$ 可微，按之前所说，定义 $g(x):= f(a) + f'(a)(x-a),\,x\in\mathbb{K}$，则 $g$ 的图像是一条穿过 $(a,f(a))$ 的直线，可视为是 $f$ 的图像在点 $(a,f(a))$ 的近似。这条线被称为 $f$ 在点 $(a,f(a))$ 的切线。

表达式

$$\frac{f(y) - f(a)}{y - a}, \quad y \neq a$$

被称为 $f$ 的差商。仿射函数

$$h(x) := f(a) + \frac{f(y) - f(a)}{y - a} (x - a), \quad x \in \mathbb{K}$$

的图像被称为穿过 $(a,f(a))$ 和 $(y,f(y))$ 的割线。

(b) 令 $X = J \subset \mathbb{R}$ 是一个区间，且 $E = \mathbb{R}^3$，假设 $f(t)$ 在时间 $t$ 给出了空间中一个点的位置，则 $|f(t) - f(t_0)|/|t-t_0|$ 是时间 $t_0$ 到 $t$ 这段时间的平均速度的绝对值，$\dot{f}(t_0)$ 表示在时间 $t_0$ 时的瞬时速率。

(c)

(1) 设 $\mathbb{K} = E = \mathbb{R}$ 且 $f: X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是在点 $a$ 的可微函数，将 $f$ 视为从 $\mathbb{C}$ 到 $\mathbb{C}$ 的函数，即令

$$f_{\mathbb{C}} : X \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \quad f_{\mathbb{C}}(x) := f(x), \quad x \in X$$

则 $f_{\mathbb{C}}$ 也在点 $a$ 可微，且 $f'_{\mathbb{C}}(a) = f'(a)$。

(2) 设 $\mathbb{K} = E = \mathbb{C}$，且 $f:X \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 是一个在点 $a \in Y := X \cap \mathbb{R}$ 可微，同时也设 $a$ 是 $Y$ 的一个极限点且 $f(Y) \subseteq \mathbb{R}$，则 $f|Y:Y \to \mathbb{R}$ 在点 $a$ 可微且 $(f|Y)'(a) = f'(a)$。

微分的规则

1.5 Proposition

令 $E_1$，$\cdots$，$E_n$ 是赋范线性空间，且 $E := E_1 \times \cdots \times E_n$，则函数 $f = (f_1, \cdots, f_n):X \to E$ 在点 $a$ 可微当且仅当对每一个分量函数 $f_j : X \to E_j$ 在点 $a$ 可微，即是说，

$$\partial f(a) = (\partial f_1(a), \cdots, \partial f_n(a))$$

因此向量能够逐分量进行微分。

证明：

证毕。

下面的定理给出计算微分的进一步规则。

1.6 Theorem

(1) (线性性) 令 $f,g:X \to E$ 在点 $a$ 可微且 $\alpha,\beta \in \mathbb{K}$，则函数 $\alpha f + \beta g$ 在点 $a$ 也可微，且

$$(\alpha f + \beta g)'(a) = \alpha f'(a) + \beta g'(a)$$

换句话说，在点 $a$ 所有可微函数构成的集合形成了 $E^X$ 的子空间 $V$，且函数 $V \to E, \, f \mapsto f'(a)$ 是线性映射。

(2) (乘法规则) 令 $f,g : X \to \mathbb{K}$ 在点 $a$ 可微，则函数 $f \cdot g$ 在点 $a$ 也可微，且

$$(f \cdot g)' (a) = f'(a) g(a)+ f(a) g'(a)$$

则在点 $a$ 的可微函数集合构成了 $\mathbb{K}^X$ 的子代数。

(3) (除法规则) 令 $f,g : X \to \mathbb{K}$ 在点 $a$ 可微且 $g(a) \neq 0$，则函数 $f/g$ 也在点 $a$ 可微并且

$$\left( \frac{f}{g} \right)'(a) = \frac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{[g(a)]^2}$$

证明：

证毕。

链式法则

我们经常用简单函数的复合来表示复杂函数，下面的规则表明可以对这类函数的微分进行组合。

1.7 Theorem

设 $f:X \to \mathbb{K}$ 在点 $a$ 可微，且 $f(a)$ 是 $Y$ 的极限点，且有 $f(X) \subseteq Y \subseteq \mathbb{K}$，若 $g:Y \to E$ 在点 $f(a)$ 可微，则 $g \circ f$ 在点 $a$ 可微且

$$(g \circ f)' (a) = g'(f(a)) f'(a)$$

证明：

证毕。

反函数