数学 - 数学分析 - III.2 拓扑基础

拓扑基础

为了对连续函数有更深的理解，我们在这节介绍关于拓扑空间的一些基本概念。在之后的介绍中，都令 $X:= (X,d)$ 是一个度量空间。

开集

定义 开集

令 $X:= (X,d)$ 是一个度量空间，$X$ 的子集 $A$ 中的元素 $a$ 被称为 $A$ 的内点，若存在 $a$ 的邻域 $U$ 使得 $U \subseteq A$。集合 $A$ 称为开集，若 $A$ 中的每个点都是内点。

2.1 Remarks

(a) 显然，$a$ 是集合 $A$ 的内点当且仅当存在 $\varepsilon > 0$ 使得 $\mathbb{B}(a,\varepsilon) \subseteq A$。

(b) $A$ 是开集当且仅当 $A$ 是是它每个点的邻域。

2.2 Examples

开球 $\mathbb{B}(a,r)$ 是开集。

2.3 Remarks

(a) 内点与开集的概念依赖于度量空间 $X$，有时为了明确，我们会说 $a$ 是集合 $A$ 关于度量空间 $X$ 的内点，或是 $A$ 在 $X$ 中是开集。

比如，$\mathbb{R}$ 中的开球，也就是开区间 $J$，在 $\mathbb{R}$ 中是开集，但把问题放在度量空间 $\mathbb{R}^2$ 上考虑，会发现 $J$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上不是开集。

(b) 令 $X=(X,\|\cdot\|)$ 是一个赋范线性空间，且 $\|\cdot\|_1$ 和 $\|\cdot\|$ 是 $X$ 上的等价范数，则由 Remark II.3.13(d) 可知

$$\text{关于} (X,\|\cdot\|), \quad A \, \text{是开集} \iff \text{关于} (X,\|\cdot\|_1), \quad A \, \text{是开集}$$

因此若 $A$ 关于一个特定的范数是开集，则它对于所有的等价范数也是开集。

(c) 由 Examples 2.2 可知，度量空间的每个点都有一个开邻域。

2.4 Proposition

令 $\mathcal{T} := \{O \subseteq X \, ; \, O \, \text{是开集} \}$ 为开集构成的集合。

(1) $\empty,X \in \mathcal{T}$

(2) 如果 $\forall \alpha \in I, O_{\alpha} \in \mathcal{T}$，则 $\bigcup_{\alpha \in I} O_{\alpha} \in \mathcal{T}$，即是说，对任意开集的并仍然是开集。

(3) 如果 $O_0, \cdots, O_n \in \mathcal{T}$，则 $\bigcap_{k=0}^n O_k \in \mathcal{T}$，即是说，有限个开集的交仍然是开集。

证明：

证毕。

Proposition 2.4 的性质 (1)-(3) 包含了集合的交 $\cap$ 与并 $\cup$，但没有包含度量，因此这是对度量空间这一概念的一般化：令 $M$ 是一个集合，且 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(M)$ 是 $M$ 的子集构成的集合 $\mathcal{P}(M)$ 的子集，$\mathcal{T}$ 满足 (1)-(3) ，则将 $\mathcal{T}$ 称为 $M$ 上的拓扑，将 $\mathcal{T}$ 中的元素称为关于 $\mathcal{T}$ 的开集。最后，将元素对 $(M,\mathcal{T})$ 称为拓扑空间。

2.5 Remarks

(a) 令 $X:= (X,d)$ 是一个度量空间，$\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P} (X)$ 是具有 Proposition 2.4 的集合族，将 $\mathcal{T}$ 称为 $X$ 上由度量 $d$ 诱导的拓扑。令 $X$ 是一个赋范线性空间，其上的度量为范数诱导的度量，则 $\mathcal{T}$ 也是一个拓扑，被称为范数拓扑。

(b) 令 $(X,\|\cdot\|)$ 是一个赋范线性空间，则 $\|\cdot\|_1$ 是一个 $X$ 上与 $\|\cdot\|$ 等价的范数，令 $\mathcal{T}_{\|\cdot\|}$ 和 $\mathcal{T}_{\|\cdot\|_1}$ 分别是由 $(X,\|\cdot\|)$ 和 $(X, \|\cdot\|_1)$ 诱导的范数拓扑，由 Remarks 2.3(b)，$\mathcal{T}_{\|\cdot\|}$ 与 $\mathcal{T}_{\|\cdot\|_1}$ 相等，即是说，在 $X$ 上的等价范数可以诱导出在 $X$ 上的等价拓扑。

闭集

度量空间 $X$ 上的子集 $A$ 被称为是 $X$ 上的闭集当且仅当 $A^c$ 在 $X$ 上是开集。

2.6 Proposition

(1) $\empty$ 和 $X$ 是闭集。

(2) 任意闭集的交仍然是闭集。

(3) 有限闭集的并仍然是闭集。

2.7 Remarks

(a) 无限个开集的交不一定是开集。

(b) 无限个闭集的并不一定是闭集。

令 $A \subseteq X$ 且 $x \in X$，我们将 $x$ 称为 $A$ 的聚点当且仅当 $x$ 在 $X$ 的每个邻域与 $A$ 都有一个非空交。点 $x \in X$ 被称为 $A$ 的收敛点当且仅当 $x$ 在 $X$ 的每个邻域都包含了 $A$ 集合中除了 $x$ 的一个点。我们设

$$\overline{A} := \{x \in X \, ; \, x \, \text{是} A \,\text{的聚点}\}$$

显然，$A$ 中任意一个元素和 $A$ 的任一个收敛点都是 $A$ 的一个聚点。事实上，$\overline{A}$ 是集合 $A$ 与集合 $A$ 所有收敛点构成的集合的并。

2.8 Proposition

令 $A$ 是度量空间 $X$ 的一个子集。

(1) $A \subseteq \overline{A}$

(2) $A = \overline{A} \iff A \,\text{是闭集}$

证明：

证毕。

2.9 Proposition

$X$ 的元素 $x$ 是 $A$ 的一个收敛点当且仅当存在 $A \setminus \{x\}$ 中的序列 $(x_k)$ 收敛到 $x$。

证明；

相反地，令 $(x_k)$ 是 $A \setminus \{x\}$ 中的序列，且有 $x_k \to x$。则对于 $x$ 的每个邻域 $U$，存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $x_k \in U$，这意味着 $x_k \in U$

证毕。

2.10 Corollary

$X$ 的元素 $x$ 是 $A$ 的一个聚点当且仅当存在 $A$ 中的序列 $(x_k)$ 收敛到 $x$。

证明：

证毕。

我们现在用收敛序列刻画闭集。

2.11 Proposition

对 $A \subseteq X$，以下描述等价：

(1) $A$ 是闭集。

(2) $A$ 包含了它所有的收敛点。

(3) $A$ 中每一个在 $X$ 上收敛的序列，收敛点在 $A$ 中。

集合的闭包

令 $A$ 是度量空间 $X$ 的子集，定义 $A$ 的闭包为

$$\text{cl} (A) := \text{cl}_X (A) := \bigcap_{B \in M} B$$

其中

$$M := \{B \subseteq X \, ; \, B \supseteq A \, \text{且} B \, \text{是} X \, \text{的闭集}\}$$

由于 $X$ 是闭集且包含 $A$，因此集合 $M$ 非空，从而定义有意义。由 Proposition 2.6(2) 可知，$\text{cl}(A)$ 是闭集，由于 $A \subseteq \text{cl} (A)$，因此可知 $A$ 的一个闭包是包含 $A$ 的一个最小闭集，即是说，任何一个包含 $A$ 的闭集，也包含 $\text{cl}(A)$。

在下个命题，我们展示 $A$ 的闭包就是 $A$ 的所有聚点的集合，即是说，$\overline{A} = \text{cl}(A)$。

2.12 Proposition

令 $A$ 是度量空间 $X$ 的子集，则 $\overline{A} = \text{cl}(A)$.

证明：

证毕。

2.13 Corollary

令 $A$ 和 $B$ 是 $X$ 的子集。

(1) $A \subseteq B \implies \overline{A} \subseteq \overline{B}$

(2) $\overline{( \overline{A} )} = \overline{A}$

(3) $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

证明：

证毕。

该推论也可以导出对映射 $h:\mathcal{P} (X) \to \mathcal{P} (X), \quad A \mapsto \overline{A}$ 单调且幂等，即是说 $h \circ h = h$。

集合的内点

闭集，聚点和闭包之间的关系对于开集可以有类似的讨论，闭包对应的概念是 $A$ 的内部，定义为

$$\text{int} (A) := \text{int}_X (A) := \bigcup\{O \subseteq X \, ; \, O\subseteq A \, \text{且} O \, \text{是} X \, \text{的开集}\}$$

显然 $\text{int}(A)$ 是 $A$ 的子集，且由 Proposition 2.4(2) 可知 $\text{int}(A)$ 是开集，因此 $\text{int}(A)$ 是 $A$ 的最大开子集。

聚点对应的概念就是我们之前定义的内点，我们定义内点集

$$\mathring{A} := \{a \in A \, ; \, a \, \text{是} A \, \text{的内点}\}$$

类似 Proposition 2.12，我们有以下命题。

2.14 Proposition

令 $A$ 是度量空间 $X$ 的子集，则 $\mathring{A} = \text{int}(A)$。

2.15 Corollary

令 $A$ 与 $B$ 是 $X$ 的子集。

(1) $A \subseteq B \implies \mathring{A} \subseteq \mathring{B}$

(2) $(\mathring{A})^{\circ} = \mathring{A}$

(3) $A = \mathring{A} \iff A \,\text{是闭集}$

(4) $A \supseteq \mathring{A}$

与闭集类似，映射 $\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P} (X), \quad A \mapsto \mathring{A}$ 是单调且幂等。

集合的边界

直观地，我们希望在平面的一个圆盘，它的边界是圆。边界的概念应该能用开集和闭集的概念精确地描述。特别地，对于度量空间 $X$ 中的一个子集 $A$，$A$ 的（拓扑）边界被定义为 $\partial A:=\overline{A} \setminus \mathring{A}$。

2.16 Proposition

令 $A$ 是 $X$ 的子集。

(1) $\partial A$ 是闭集。

(2) $x$ 在 $\partial A$ 中当且仅当 $x$ 的每个邻域与 $A$ 和 $A^c$ 都有非空交。

证明：只需注意到 $\partial A = \overline{A} \cap (\mathring{A})^c$。

证毕。

Hausdorff 条件

下面的命题表明，在度量空间中，任意两个不同的点都有不相交的邻域。

2.17 Proposition

令 $x,y \in X$ 使得 $x \neq y$，则存在 $x$ 的邻域 $U$ 和 $y$ 的邻域 $V$ 使得 $U \cap V = \empty$。

证明：

证毕。

Proposition 2.17 被称为 $\text{Hausdorff}$ 条件。为了证明这个条件，我们用了度量的性质。事实上，存在一个（非度量）的拓扑空间不满足 $\text{Hausdorff}$ 条件。

$\text{Hausdorff}$ 条件的一个简单结果是

$$\bigcap \{U \, ; U \in \, \mathcal{U}_X (x)\} = \{x\}, \quad x \in X$$

这意味着充分多的邻域可以区分一个度量空间中的点。

2.18 Corollary

任意一个度量空间中的单元素子集都是闭集。

证明：

证毕。

Examples

我们用例子来说明这些新概念，包括以前章节提到的一些概念，如开区间、闭区间、开球、闭球等，会发现它们在拓扑上是一致的。

2.19 Examples

(a) 开区间 $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}$ 上是开集。

(b) 闭区间 $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}$ 上是闭集。

(c) 令 $I \subseteq \mathbb{R}$ 是区间，$a := \inf I$，$b:=\sup I$。则

$$\partial I = \left\{ \begin{align*} & \empty, & \quad I = \mathbb{R} \,&\text{or}\,I=\empty \\ & \{a\}, & \quad a \in \mathbb{R} \, &\text{and}\, b = \infty \\ & \{b\}, & \quad b \in \mathbb{R} \,& \text{and}\, a = -\infty \\ & \{a,b\}, & \quad -\infty < & a < b < \infty \\ & \{a\}, \quad &a & = b \in \mathbb{R} \end{align*} \right.$$

(d) 闭球 $\bar{\mathbb{B}}(x,r)$ 是开球。

证明：

证毕。

(e) 在任何一个度量空间中，对任意 $r \ge 0$ 均有 $\overline{\mathbb{B}(x,r)} \subseteq \bar{\mathbb{B}}(x,r)$。如果 $X$ 是一个赋范线性空间且 $r > 0$，则有 $\overline{\mathbb{B}(x,r)} = \bar{\mathbb{B}}(x,r)$。

证明：

证毕。

(f) 在任何一个赋范线性空间 $X$ 中，

$$\partial \mathbb{B}(x,r) = \partial \bar{\mathbb{B} (x,r)} = \{y \in X \, ; \, \|x-y\| = r\}$$

(g) $n$ 维球面 $S^n := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \, ; \, |x|=1\}$ 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上是闭集。

连续函数的刻画

我们现在应用这一节的内容对连续函数做进一步的刻画。

2.20 Theorem

令 $f:X \to Y$ 是由度量空间 $X$ 到 $Y$ 的函数。则以下表述等价：

(1) $f$ 是连续函数。

(2) 对 $Y$ 中任一开集 $O$，$f^{-1}(O)$ 在 $X$ 中是开集。

(3) 对 $Y$ 中任一闭集 $A$，$f^{-1}(A)$ 在 $X$ 中是闭集。

证明：

证毕。

2.21 Remark

由上述定理，一个函数连续当且仅当它对任一开集的原像是开集，当且仅当它对任一闭集的原像是闭集。对这个重要的结果，我们有另一种陈述，记度量空间 $X$ 的拓扑为 $\mathcal{T}_X$，即

$$\mathcal{T}_X := \{O \subseteq X \, ; \, O \, \text{是} X \, \text{中的开集}\}$$

则有

$$f: X \to Y \text{是连续函数} \iff f^{-1}:\mathcal{T}_Y \to \mathcal{T}_X$$

即是说，$f:X\to Y$ 是连续函数当且仅当 $\mathcal{T}_Y$ 在集合函数 $f^{-1}:\mathcal{P} (Y) \to \mathcal{P} (X)$ 下的像被包含在 $\mathcal{T}_X$。

下面的例子表明了 Theorem 2.20 能被用来证明一个给定集合是开集还是闭集。

2.22 Examples

(a) 令 $X$ 和 $Y$ 是度量空间，$f:X \to Y$ 是连续函数。则对任意 $y \in Y$，$y$ 的原像 $f^{-1}(y)$ 在 $X$ 中是闭集，即是说，等式 $f(x)=y$ 的解集合是闭集。

(b) 令 $k.n \in \mathbb{N}^{\times}$ 且 $k \le n$，则 $\mathbb{K}^k$ 在 $\mathbb{K}^n$ 是闭集。

证明：

证毕。

(c) 不等式的解集合：令 $f:X \to \mathbb{R}$ 是连续函数，且 $r \in \mathbb{R}$，则 $\{x \in X \, ; \, f(x) \le r\}$ 是 $X$ 中的闭集且 $\{x \in X \, ; \, f(x) < r\}$ 是 $X$ 中的开集。

(d) $n$ 维单位闭立方体

$$I^n := \{x \in \mathbb{R}^n \, ; \, 0 \le x_k \le 1,\, 1 \le k \le n\}$$

在 $\mathbb{R}^n$ 中是闭集。

(e) 开集（或闭集）在连续函数下的像不一定是开集（或闭集）。

连续性延拓

令 $X$ 和 $Y$ 是度量空间，假设 $D subseteq X$，$f : D \to Y$ 是连续函数且 $a \in X$ 是 $D$ 的极限点。如果 $D$ 不是一个闭集，则 $a$ 可能不在 $D$ 中，因此 $f$ 在点 $a$ 没有定义。这一节我们考虑 $f(a)$ 是否能够被定义以便 $f$ 在 $D \cup \{a\}$ 上连续。如果这样的延拓存在，则对于任意 $D$ 中收敛到 $a$ 的序列 $(x_n)$，$(f(x_n))$ 必定收敛到 $f(a)$。

因此，我们对函数（不必是连续函数） $f:D \to Y$ 和 $D$ 中的一个收敛点 $a$，定义

$$\lim_{x \to a} f(x) = y \tag{2.1}$$

如果存在这样的 $y \in Y$，使得 $D$ 中的任一收敛到点 $a$ 的序列 $(x_n)$，序列 $(f(x_n))$ 收敛到 $y$。

2.23 Remarks

(a) 以下表述等价：

(1) $\lim_{x \to a} f(x) = y$

(2) 对任一 $y \in Y$ 的邻域 $V$，存在 $a \in X$ 的邻域 $U$ 使得 $f(U \cap D) \subseteq V$。

证明：

证毕。

(b) 如果 $a \in D$ 是 $D$ 中的一个极限点，则

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \iff f \,\text{在点} a \,\text{连续}$$

2.24 Proposition

令 $X$ 和 $Y$ 是度量空间，$D \subseteq X$，且 $f : D \to Y$ 连续，假设 $a \in D^c$ 是 $D$ 的极限点，且存在 $y \in Y$ 使得 $\lim_{x \to a} f(x) = y$，则

$$\overline{f}:D \cup \{a\} \to Y, \quad x \mapsto \left\{ \begin{align*} f&(x), \quad & x \in D \\ &y, \quad & x = a \end{align*} \right.$$

是函数 $f$ 到 $D \cup \{a\}$ 的连续性延拓。

证明：

证毕。

由一种比较特殊的情况 $X \subseteq \mathbb{R}$，我们如下定义单边极限，假设 $D \subseteq X$，$f : D \to Y$ 是一个函数且 $a \in X$ 是 $D \cup (-\infty, a]$ 的极限点，然后我们就可以类比 $f(x)$ 定义左极限，此时的序列 $(x_n)$ 需 $x_n < a$，记作

$$f(a-) := \lim_{x \to a-} f(x)$$

右极限 $\lim_{x \to a+} f(x)$ 可以类似左极限进行定义。类似地，我们写 $y = \lim_{x \to \infty} f(x)$，当且仅当对任一有 $x_n \to \infty$ 的序列 $(x_n)$，我们有 $f(x_n) \to y$。

2.25 Examples

(a) 假设

相对拓扑

令 $X$ 是一个度量空间，$Y$ 是 $X$ 的子集，则 $Y$ 可以是一个度量空间，其上定义度量 $d_Y := d|Y \times Y$ 由 $X$ 的度量 $d$ 诱导，因此“在 $(Y,d_Y)$ 上的开集”和“在 $(Y,d_Y)$ 上的闭集”也能被很好地定义。

有另一种完全不使用度量来定义 $Y$ 中开集的方法，这种定义方法仅需要 $X$ 是一个拓扑空间即可。特别地，$Y$ 的一个子集 $M$ 是开集，当且仅当存在 $X$ 中的开集 $O$ 使得 $M = O \cap Y$。如果 $M \subseteq Y$ 在 $Y$ 中是开集，我们也说 $M$ 在 $Y$ 中相对开。这种定义方式，容易看到 $X$ 上的拓扑结构诱导了 $Y$ 上的拓扑结构。

因此我们有两种定义 $Y$ 中开集的方式，下面命题表明这两种定义是等价的。

2.26 Proposition

令 $X$ 是一个度量空间，且 $M \subseteq Y \subseteq X$，则 $M$ 在 $Y$ 中是开集当且仅当 $M$ 在 $(Y,d_Y)$ 是开集。

证明：

证毕。

2.27 Corollary

令 $M \subseteq Y \subseteq X$，则 $M$ 在 $Y$ 中是开集当且仅当 $Y \setminus M$ 在 $Y$ 是闭集。

2.28 Examples

(a) 令 $X := \mathbb{R}^2$

一般拓扑空间

即使度量空间对于我们讨论中的绝大多数情况已经是非常自然结构，在之后的章节，或一些其他书籍中，一般拓扑空间也是非常重要的。