数学 - 数学分析 - III.1 连续性

III.1 连续性

经验表明，即使一个函数通常非常复杂且难以描述，在实际应用中的函数一般存在一些重要的定性性质。这些性质中的其中一个便是连续性。对于一个函数 $f:X\to Y$，连续性度量了值域 $f(X) \subseteq Y$ 中的微小变化是如何由定义域 $X$ 中的微小变化引起的。为使得这有意义，集合 $X$ 与 $Y$ 必须赋予一些额外的结构以便给出“微小变化”的精确意义。显然度量空间是一个带有这种结构的合适的集合。

主要的性质与例子

定义 连续性

令 $f: X \to Y$ 是一个度量空间 $(X,d_X)$ 与 $(Y,d_Y)$ 之间的映射，称 $f$ 在 $x_0 \in X$ 连续，如果对每一个 $f(x_0) \in Y$ 的邻域 $V$，都存在 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 使得 $f(U) \subseteq V$。

称映射 $f: X \to Y$ 是连续的，若它在 $X$ 中的每一点都连续。如果一点 $x_0 \in X$，$f$ 在 $x_0$ 不连续，则称映射 $f$ 不连续。从 $X$ 到 $Y$ 的所有连续函数构成一个集合，记为 $C(X,Y)$，显然 $C(X,Y)$ 是 $Y^X$ 的子集。

有定义可知，要证明 $f$ 在 $x_0$ 的连续性，需要先假设 $f(x_0)$ 的一个任意的邻域 $V$ 给定，然后说明存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 使得 $f(U) \subseteq V$，即 $f(x) \in V,\forall x \in U$。

连续性的定义用了邻域的概念，实际应用中更经常使用的是下面的等价刻画。

1.1 Proposition

函数 $f: X \to Y$ 在 $x_0 \in X$ 连续当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta := \delta(x_0,\varepsilon) > 0$ 使得下式成立

$$d(f(x_0), f(x)) < \varepsilon, \quad \forall x \in X \quad (d(x_0,x) < \delta) \tag{1.1}$$

1.2 Corollary

令 $E$ 和 $F$ 是赋范线性空间，$X \subseteq E$，则 $f : X \to F$ 在 $x_0 \in X$ 上连续当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta:=\delta(x_0,\varepsilon) > 0$ 满足

$$\|f(x) - f(x_0)\|_F < \varepsilon, \quad \forall x \in X \quad \|x - x_0\|_E < \delta$$

证明： 可直接由赋范线性空间中的度量的定义证得。证毕。

1.3 Examples

在下面的例子中，$X$ 和 $Y$ 都是度量空间。

(a) 平方根函数 $\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, \quad x \mapsto \sqrt{x}$ 是连续的。

(b) 下取整函数 $\lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \lfloor x \rfloor := \max \{k \in \mathbb{Z} \, ; \, k \le x\}$ 在 $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ 上连续，在 $x_0 \in \mathbb{Z}$ 不连续。

(c) 狄利克雷函数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 定义如下

$$f(x) := \left\{ \begin{align*} & 1, \quad x \in \mathbb{Q} \\ & 0, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{align*} \right.$$

函数对每一个 $x_0 \in \mathbb{R}$ 都不连续。

(d) 假设 $f : X \to \mathbb{R}$ 在 $x_0 \in X$ 连续，且 $f(x_0) > 0$，则存在 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 使得对所有 $x \in U$ 有 $f(x)>0$。

(e) 称函数 $f:X \to Y$ 是以李普希兹常数 $\alpha > 0$ 李普希兹连续当且仅当

$$d(f(x),f(y)) \le \alpha d(x,y), \quad x,y \in X$$

则李普希兹连续函数必定是连续函数（逆命题不成立）。

证明：

证毕。

(f) 任一常数函数 $X \to Y,x \mapsto x_0$ 是李普希兹连续的。

(g) 恒等映射 $\text{id} : X \to X, \quad x \mapsto x$ 是李普希兹连续的。

(h) 令 $E_1,\cdots,E_m$ 是赋范线性空间，则 $E:=E_1 \times \cdots \times E_m$ 是一个赋范线性空间，其上定义如 Examples II.3.3(c) 所示的乘积范数 $\|\cdot\|_{\infty}$。给出正则投影

$$\text{\r}_k : E \to E_k, \quad x = (x_1,\cdots,x_m) \mapsto x_k, \quad 1 \le k \le m$$

可证明上式的正则投影是李普希兹连续的。特别地，投影 $\text{pr}_k : \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}$ 是李普希兹连续的。

证明：

证毕。

(i) 对每一个这样形式的函数 $z \mapsto \text{Re} (z)$，$z \mapsto \text{Im}(z)$ 和 $z \mapsto \overline{z}$ 都在 $\mathbb{C}$ 上是李普希兹连续的。

(j) 令 $E$ 是赋范线性空间，则范数映射

$$\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \|x\|$$

是李普希兹连续的。

(k) 如果 $A \subseteq X$ 且 $f : X \to Y$ 在 $x_0 \in A$ 连续，则限制映射 $f|A : A \to Y$ 在 $x_0$ 连续，这里的 $A$ 是由 $X$ 诱导的度量空间。

(I) 令 $M \subseteq X$ 是 $X$ 的一个非空子集，对任意 $x \in X$，记 $x$ 到 $M$ 的距离为

$$d(x,M) := \inf_{m \in M} d(x,m)$$

距离函数

$$d(\cdot,M) := X \to \mathbb{R}, \quad x \to d(x,M)$$

是李普希兹连续的。

证明：

证毕。

(m) 对任一个内积空间 $(E,(\cdot|\cdot))$，内积 $(\cdot|\cdot) : E \times E \to \mathbb{K}$ 是连续的。

证明：

证毕。

(n) 令 $E$ 和 $F$ 是赋范线性空间，$X \subseteq E$，则函数 $f:X \to F$ 在 $x_0 \in X$ 的连续性不依赖于在 $E$ 和在 $F$ 上的等价范数的选择。

(o) 在度量空间 $X$ 与 $Y$ 之间的函数 $f$ 被称为等距映射当且仅当 $d(f(x),f(x')) = d(x,x')$ 对所有 $x,x' \in X$ 成立，即是说，$f$ 在度量空间 $X$ 与 $Y$ 之间“保持距离”。 显然，这样的函数是李普希兹连续的，且是 $X$ 到它的像集 $f(X)$ 的双射。

如果 $E$ 和 $F$ 都是赋范线性空间，且 $T:E\to F$ 是线性映射，则 $T$ 是等距映射当且仅当对所有的 $x \in E$ 有 $\|Tx\| = \|x\|$。另外，若 $T$ 是一个满射，则 $T$ 是从 $E$ 到 $F$ 的等距同构，且 $T^{-1}$ 也是等距映射。

序列连续性

邻域的概念是连续性定义和序列收敛定义的核心，这表明了一个函数的连续性能够用序列进行定义。

定义 序列收敛

度量空间 $X$ 与 $Y$ 之间的映射 $f:X \to Y$ 被称为在 $x \in X$ 序列连续，如果对任一 $X$ 中的序列 $(x_k)$ 使得 $\lim x_k = x$，我们有 $f(x_k) = f(x)$。

1.4 Theorem

令 $X$ 和 $Y$ 是度量空间，则映射 $f : X \to Y$ 在 $x \in X$ 连续当且仅当它在 $x$ 点序列连续。

证明：

证毕。

连续函数的加法与乘法

Theorem 1.4 使得将关于收敛序列的一些定理应用到连续函数上成为可能。在做之前，我们介绍一些定义。

令 $M$ 是一个任意的集合，$F$ 是一个线性空间，令 $f$ 和 $g$ 是函数，且 $\text{dom}(f),\text{dom}(g) \subseteq M$，并在 $F$ 上取值。则函数 $f$ 与 $g$ 的和函数 $f + g$ 定义为

$$f+g : \text{dom}(f + g) := \text{dom}(f) \cap \text{dom} (g) \to F, \quad x \mapsto f(x) + g(x)$$

类似地，对 $\lambda \in \mathbb{K}$，我们定义函数 $\lambda f$

$$\lambda f : \text{dom}(f) \to F, \quad x \mapsto \lambda f(x)$$

最后，若特别地有 $F=\mathbb{K}$，我们定义

$$\text{dom}(f \cdot g) := \text{dom}(f) \cap \text{dom} (g)$$

$$\text{dom}(f/g) := \text{dom}(f) \cap \{x \in \text{dom}(g) \, ; \, g(x) \neq 0\}$$

由此定义函数 $f$ 与 $g$ 的乘与除

$$f \cdot g: \text{dom} (f \cdot g) \to \mathbb{K}, \quad x \mapsto f(x) \cdot g(x)$$

$$f/g : \text{dom}(f/g) \to \mathbb{K}, \quad x \mapsto f(x)/g(x)$$

1.5 Proposition

设 $X$ 是一个度量空间，$F$ 是一个赋范线性空间，函数

$$f:\text{dom}(f) \subseteq X \to F, \quad g:\text{dom}(g) \subseteq X \to F$$

在 $x_0 \in \text{dom} (f) \cap \text{dom}(g)$ 连续。

• $f+g$ 和 $\lambda f$ 在点 $x_0$ 连续。

• 若 $F = \mathbb{K}$，则 $f \cdot g$ 在点 $x_0$ 连续。

• 若 $F = \mathbb{K}$ 且 $g(x_0) \neq 0$，则 $f/g$ 在点 $x_0$ 连续。

1.6 Corollary

(1) 有理函数是连续的。

(2) $n$ 个变量的多项式是连续的（在 $\mathbb{K}^n$）中。

(3) $C(X,F)$ 是 $F^X$ 的子空间，也即从 $X$ 到 $F$ 连续函数构成一个线性空间。

1.7 Proposition

令 $a = \sum a_k X^K$

1.8 Theorem

令 $X$，$Y$ 和 $Z$ 是度量空间，设 $f : X \to Y$ 在 $x \in X$ 连续，且 $g : Y \to Z$ 在 $f(x) \in Y$ 连续，则复合 $g \circ f : X \to Z$ 在 $x$ 连续。

证明：

证毕。

1.9 Examples

令 $X$ 是一个度量空间，$E$ 是一个赋范线性空间。

(a) 令 $f:X \to E$ 在点 $x_0$ 连续，则函数 $f$ 范数

$$\|f\| : X \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \|f(x)\|$$

在点 $x_0$ 连续。

(b) 令函数 $g:\mathbb{R} \to X$ 连续，则函数 $\hat{g} : E \to X, \quad x \mapsto g(\|x\|)$ 连续。

(c)