数学 - 数学分析 - II.3 赋范线性空间

II.3 赋范线性空间

在这一节中，我们考虑线性空间上的度量。当然，我们给定的该度量应该与线性空间结构是兼容的，所以我们先研究在线性空间 $\mathbb{R}^2$ 上已经直观存在的距离的概念。特别地，如果我们记 $\mathbb{R}^2$ 上的一个向量 $x$ 的长度为 $\|x\|$ ，则两个点 $x,y \in \mathbb{R}^2$ 之间的距离为 $\|x-y\|$ 。我们之后会看到这定义了 $\mathbb{R}^2$ 上的一个度量（见 Remark 3.1(a)）。函数 $x \mapsto \|x\|$ 不仅与度量有关系，还与线性空间的结构有关联。

首先，我们注意到 $\mathbb{R}^2$ 上一个向量的长度是非非负的，即是说， $\|x\| \ge 0$ 。而且向量的长度为零当且仅当它是零向量。

其次，对 $x \in \mathbb{R}^2$ 和 $\alpha > 0$ ，我们将 $\alpha x$ 看作是向量 $x$ 以因子 $\alpha$ 伸长（或缩短）的结果。如果综合 $\alpha < 0$ 的情况，我们得到向量 $\alpha x$ 的长度 $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$ 。

最后，对所有 $\mathbb{R}^2$ 中的向量 $x$ 和 $y$ ，我们有三角不等式 $\|x+y\|\le \|x\| + \|y\|$ 。

我们自然地导出来赋范线性空间的概念。

范数

定义范数

令 $E$ 是一个 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，函数 $\|\cdot\|:E \to \mathbb{R}^+$ 被称为一个范数，如果满足以下条件：

$\|x\|=0 \iff x=0$ 。

$\| \lambda x \| = |\lambda| \|x\|, \, x \in E, \, \lambda \in \mathbb{K}$

$\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|, \, x,y \in E$

对 $(E, \|\cdot\|)$ 由线性空间 $E$ 和度量 $\|\cdot\|$ 组成，将其称为赋范线性空间。

3.1 Remarks

令 $E:= (E,\|\cdot\|)$ 是一个赋范线性空间。

(a) 定义 $E$ 上的度量

\begin{aligned} d : E \times E & \to R^{+} \\ (x, y) & \mapsto ‖ x - y ‖ \end{aligned}

$\begin{align*} d : E \times E & \to \mathbb{R}^+ \\ (x,y) & \mapsto \|x-y\| \end{align*}$

称 $d$ 为范数诱导的度量。因此任一个赋范线性空间也是一个度量空间。

(b) 反三角不等式对范数成立：

‖ x - y ‖ \geq | ‖ x ‖ - ‖ y ‖ |, x, y \in E

$\|x-y\| \ge \left| \|x\| - \|y\| \right|, \quad x,y \in E$

(c) 由 (a) 可知，在第一节所有关于度量空间的性质也对赋范线性空间 $E$ 保持。特别地，“邻域”、“聚点”和“收敛”的概念也可以在 $E$ 上定义。

例如，在 $E$ 中的序列 $(x_n)$ 收敛到 $x$ 可以表示为：

x_{n} \to x \in E ⟺ \forall ε > 0, \exists N \in N : \forall n \geq N, ‖ x_{n} - x ‖ \leq ε

$x_n \to x \in E \iff \forall \varepsilon>0, \, \exist N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \ge N, \, \|x_n - x\| \le \varepsilon$

进一步，在第二节中那些证明中没有用到 $\mathbb{K}$ 中的域结构和序结构的定理对于 $E$ 中的序列也成立。

特别地，Remarks 2.1 和 Propositions 2.2 和 2.10 对任一赋范线性空间也成立。

球

给定 $a \in E$ 和 $r > 0$ ，我们定义中心为 $a$ ，半径为 $r$ 的开球和闭球。

B_{E} (a, r) := B (a, r) := {x \in E; ‖ x - a ‖ < r}

$\mathbb{B}_E (a,r) := \mathbb{B}(a,r) := \{x \in E \, ; \, \|x-a\| < r\}$

{\bar{B}}_{E} (a, r) := \bar{B} (a, r) := {x \in E; ‖ x - a ‖ \leq r}

$\bar{\mathbb{B}}_E (a,r) := \bar{\mathbb{B}} (a,r) := \{x \in E \, ; \, \|x-a\| \le r\}$

注意到该定义与度量空间 $(E,d)$ 是一致的，其中 $d$ 是由范数诱导的度量。我们有时将 $E$ 中的单位开球和单位闭球写作

B := B (0, 1) := {x \in E; ‖ x ‖ < 1}

$\mathbb{B} := \mathbb{B} (0,1) := \{x \in E \, ; \, \|x\| < 1\}$

\bar{B} := \bar{B} (0, 1) := {x \in E; ‖ x ‖ \leq 1}

$\bar{\mathbb{B}} := \bar{\mathbb{B}} (0,1) := \{x \in E \, ; \, \|x\| \le 1\}$

使用 (1.4.1) 的记号可以得到

r B = B (0, r), r \bar{B} = \bar{B} (0, r), a + r B = B (a, r), a + r \bar{B} = \bar{B} (a, r)

$r \mathbb{B} = \mathbb{B} (0,r), \quad r \bar{\mathbb{B}} = \bar{\mathbb{B}} (0,r), \quad a + r \mathbb{B} = \mathbb{B} (a,r), \quad a + r \bar{\mathbb{B}} = \bar{\mathbb{B}} (a,r)$

有界集

$E$ 中的一个子集 $X$ 在 $E$ 中是有界的，如果它在其诱导度量空间中有界。

3.2 Remarks

令 $E := (E, \|\cdot\|)$ 是一个赋范线性空间。

(a) $X \subset E$ 有界当且仅当存在 $r > 0$ 使得 $X \subseteq r \mathbb{B}$ 。

(b) 如果 $X$ 和 $Y$ 是 $E$ 中的非空有界子集，则 $X \bigcup Y$ ， $X+Y$ 和 $\lambda X$ （ $\lambda \in \mathbb{K}$ ）也是有界集。

(c) Examples 1.2(d) 表明，在每一个线性空间 $V$ ，都存在一个度量使得 $V$ 有界。但是，如果 $V$ 不是一个零空间，则范数的第二点性质表明在 $V$ 中没有能让 $V$ 有界的范数。（范数比度量更严苛）

例子

我们给在 Section I.12 中介绍的线性空间定义合适的的范数。

3.3 Examples

(a) 绝对值 $|\cdot|$ 是线性空间 $\mathbb{K}$ 上的度量（今后若考虑 $\mathbb{K}$ 上的范数时，都如此考虑）。

(c) 令 $(E_j, \|\cdot\|_j),1\le j \le m$ 是 $\mathbb{K}$ 上的一组线性空间，定义

‖ x ‖_{\infty} := max_{1 \leq j \leq m} ‖ x_{j} ‖_{j}, x = (x_{1}, \dots, x_{m}) \in E := E_{1} \times \dots \times E_{m}

$\|x\|_{\infty} := \max_{1 \le j \le m} \|x_j\|_j, \quad x = (x_1, \cdots, x_m) \in E := E_1 \times \cdots \times E_m$

上式在乘积线性空间 $E$ 上定义了一个范数，称为乘积范数。由该范数诱导的 $E$ 上的度量与 Examples 1.2(e) 的乘积度量保持一致，只需让 $d_j$ 是从 $E_j$ 的范数 $\|\cdot\|_j$ 诱导的度量。

(d) 令 $m \in \mathbb{N}^\times$ ， $\mathbb{K}^m$ 是一个定义有极大范数的线性空间。

| x |_{\infty} := max_{1 \leq j \leq m} | x_{j} |, x = (x_{1}, \dots, x_{m}) \in K^{m}

$|x|_{\infty} := \max_{1 \le j \le m} |x_j|, \quad x = (x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m$

令 $m=1$ ，则有 $(\mathbb{K}^1, |\cdot|_{\infty}) = (\mathbb{K}, |\cdot|)=\mathbb{K}$ 。

有界函数空间

令 $X$ 是一个非空集， $(E,\|\cdot\|)$ 是一个赋范线性空间，一个函数 $u \in E^X$ 被称为有界，如果 $u$ 的像在 $E$ 中是有界的。对 $u \in E^X$ ，定义范数

\begin{matrix} (3.2) & ‖ u ‖_{\infty} := ‖ u ‖_{\infty, X} := sup_{x \in X} ‖ u (x) ‖ \in (R^{+} \cup {0}) \end{matrix}

$\|u\|_{\infty} := \|u\|_{\infty, X} := \sup_{x \in X} \|u(x)\| \in (\mathbb{R}^+ \cup \{0\}) \tag{3.2}$

3.4 Remarks

(a) 令 $u \in E^X$ ，则以下表诉是等价的：

$u$ 有界。
$u(X)$ 在 $E$ 中有界。
存在 $r > 0$ 使得对所有 $x \in X$ 有 $\|u(x)\| \le r$ 。
$\|u\|_{\infty} < \infty$ 。

(b) 显然 $\text{id} \in \mathbb{K}^{\mathbb{K}}$ 不是有界的，因此 $\|\text{id}\|_{\infty} = \infty$ 。

Remarks 3.4(b) 表明 $\|\cdot\|_{\infty}$ 可能不是线性空间 $E^X$ 上的一个范数。因此我们定义

B (X, E) := {u \in E^{X}; u 有界}

$B(X,E) := \{u \in E^X \, ; \, u \, \text{有界}\}$

称 $B(X,E)$ 是从 $X$ 到 $E$ 的有界函数空间。

3.5 Proposition

$B(X,E)$ 是 $E^X$ 的一个子空间，且 $\|\cdot\|_{\infty}$ 是一个范数，称其为 $B(X,E)$ 上的上确界范数。

证明：

证毕。

3.6 Remarks

(a) 如果 $X := \mathbb{N}$ ，则 $B(X,E)$ 是 $E$ 上有界序列组成的赋范线性空间。特别地，令 $E := \mathbb{K}$ ，同时将 $B(\mathbb{N}, \mathbb{K})$ 记作 $\ell_{\infty}$ ，即

ℓ_{\infty} := ℓ_{\infty} (K) := B (N, K)

$\ell_{\infty} := \ell_{\infty} (\mathbb{K}) := B(\mathbb{N}, \mathbb{K})$

称其为有界序列赋范线性空间，定义其上的上确界范数为：

‖ (x_{n}) ‖_{\infty} = sup_{n \in N} | x_{n} |, (x_{n}) \in ℓ_{\infty}

$\|(x_n)\|_{\infty} = \sup_{n \in \mathbb{N}} |x_n|, \quad (x_n) \in \ell_{\infty}$

(b) 由 Proposition 1.10 可知，任一个收敛序列都是有界的。由 Remark 2.3 可知 $c$ 和 $c_0$ 都是 $\ell_{\infty}$ 的子空间。因此 $c_0$ 和 $c$ 也可以定义上确界范数成为赋范线性空间，且 $c_0 \subseteq c \subseteq \ell_{\infty}$ 。

(c) 如果对每某个 $m \in \mathbb{N}^{\times}$ 有 $X=\{1,\cdots,m\}$ ，则

B (X, E) = (E^{m}, ‖ \cdot ‖_{\infty})

$B(X,E) = (E^m, \|\cdot\|_{\infty})$

其中， $\|\cdot\|_{\infty}$ 是 Examples 3.3(c) 的乘积范数，因此这里的记号与 Examples 3.3(c) 是保持一致的。

内积空间

我们现在考虑赋范线性空间 $E := (\mathbb{R}^2, |\cdot|_{\infty})$ ，按之前的记号，我们可以得到 $E$ 的单位开球

B_{E} := {x \in R^{2}; | x |_{\infty} < 1} = {(x_{1}, x_{2}) \in R^{2}; - 1 < x_{1}, x_{2} < 1}

$\mathbb{B}_E := \{x \in \mathbb{R}^2 \, ; \, |x|_{\infty} < 1\} = \{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \, ; \, -1 < x_1 , x_2 < 1\}$

因此 $\mathbb{B}_E$ 是一个边长为 $2$ ，中心在 $0$ 点的平面上的正方形。在任何一个赋范线性空间 $(F,\|\cdot\|)$ ，单位球的边界为集合 $\{x \in F \, ; \, \|x\| = 1\}$ ，被称为在 $(F, \|\cdot\|)$ 中的单位球面。

定义内积
令 $E$ 是一个域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，函数

$\begin{align*} (\cdot | \cdot) : E \times E & \to \mathbb{K} \\ (x,y) & \mapsto (x|y) \end{align*} \tag{3.4}$
被称为 $E$ 上的标量积或内积如果以下成立：

$(x|y) = \overline{(y|x)}, \quad x , y \in E$

$(\lambda x + \mu y | x) = \lambda (x | z) + \mu (y | z), \quad x,y,z \in E, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{K}$

$(x|x) \ge 0, \quad x \in E \quad \text{and} \quad (x|x) = 0 \iff x = 0$

定义了内积 $(\cdot|\cdot)$ 的线性空间被称为内积空间，写作 $(E,(\cdot|\cdot))$ 。在不引起矛盾的情况下，我们用 $E$ 代替 $(E,(\cdot|\cdot))$ 。

3.7 Remarks

(a) 取 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ，则内积的第一点性质可以写作

(x | y) = (y | x), x, y \in E

$(x|y) = (y|x), \quad x,y \in E$

换句话说，函数 $(3.4)$ 在 $E$ 为实线性空间时是对称的。

(b) 由第一点性质和第二点性质可知

\begin{matrix} (3.5) & (x | λ y + μ z) = \bar{λ} (x | y) + \bar{μ} (x | z), x, y, z \in E, λ, μ \in K \end{matrix}

$(x|\lambda y + \mu z) = \overline{\lambda} (x|y) + \overline{\mu} (x|z), \quad x,y,z \in E, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{K} \tag{3.5}$

因此，对任一固定 $x \in E$ ，函数 $(x|\cdot) : E \to \mathbb{K}$ 是线性共轭的。

(c) 对所有 $x,y \in E$ ，有 $(x \pm y | x \pm y) = (x|y) \pm 2 \text{Re} (x|y) + (y|y)$ 。

(d) 对所有 $x \in E$ 有 $(x|0) = 0$ 。

令 $m \in N^{\times}$ 。对所有 $x = (x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m$ 和 $y=(y_1,\cdots,y_m) \in \mathbb{K}^m$ ，定义

(x | y) := \sum_{i = 1}^{m} x_{i} {\bar{y}}_{i}

$(x|y) := \sum_{i=1}^m x_i \overline{y}_i$

我们容易验证上式定义了 $\mathbb{K}^m$ 上的一个内积，将其称为 $\mathbb{K}^m$ 的欧几里得内积。

Cauchy-Schwarz 不等式

在初步的介绍之后，我们能证明关于内积空间的一个最有用的定理。

3.8 Theorem

令 $(E,(\cdot | \cdot))$ 是一个内积空间，则

\begin{matrix} (3.6) & | (x | y) |^{2} \leq (x | x) (y | y), x, y \in E \end{matrix}

$|(x|y)|^2 \le (x|x) (y|y), \quad x, y \in E \tag{3.6}$

上式等号成立当且仅当 $x$ 与 $y$ 线性相关。称式 $(3.6)$ 为 $\text{Cauchy-Schwarz}$ 不等式。

证明：

证毕。

3.9 Corollary

令 $\xi_1,\cdots,\xi_m$ 和 $\eta_1,\cdots,\eta_m$ 是 $\mathbb{K}$ 中的元素，则

\begin{matrix} (3.8) & {| \sum_{j = 1}^{m} ξ_{j} {\bar{η}}_{j} |}^{2} \leq (\sum_{j = 1}^{m} | ξ_{j} |^{2}) (\sum_{j = 1}^{m} | η_{j} |^{2}) \end{matrix}

$\left| \sum_{j=1}^m \xi_j \overline{\eta}_j\right|^2 \le \left( \sum_{j=1}^m |\xi_j|^2\right) \left( \sum_{j=1}^m |\eta_j|^2\right) \tag{3.8}$

等式成立当且仅当存在 $\alpha,\beta \in \mathbb{K}$ 使得 $(\alpha,\beta) \neq (0,0)$ 且 $\alpha \xi_j + \beta \eta_j = 0,\forall j=1,\cdots,m$ 。

证明：

证毕。

3.10 Theorem

令 $(E,(\cdot|\cdot))$ 是一个内积空间，则可以定义

‖ x ‖ := \sqrt{(x | x)}, x \in E

$\|x\| := \sqrt{(x|x)}, \quad x \in E$

则 $\|\cdot\|$ 是 $E$ 中的范数，称其为由内积 $(\cdot|\cdot)$ 诱导的范数。

证明：

证毕。

根据 Theorem 3.10 我们给一个约定，任一内积空间 $(E,(\cdot|\cdot))$ 都被视为一个赋范线性空间，其上定义的范数为内积诱导的范数。

从一个内积诱导得到的范数也叫做 $\text{Hilbert}$ 内积。

3.11 Corollary

令 $(E,(\cdot|\cdot))$ 是一个内积空间，则

| (x | y) | \leq ‖ x ‖ ‖ y ‖, x, y \in E

$|(x|y)| \le \|x\| \|y\|, \quad x,y \in E$

欧几里得空间

一个特别重要的例子是 $\mathbb{K}^m$ 上的欧几里得内积空间。由于我们会非常频繁地在这个内积空间中进行讨论，为方便起见，有必要事先做一些约定。

除非有特别说明，我们考虑的 $\mathbb{K}^m$ 上被赋予欧几里得内积 $(\cdot|\cdot)$ 和由该内积诱导的范数，并称该范数为欧几里得范数。

| x | := \sqrt{(x | x)} = \sqrt{\sum_{j = 1}^{m} | x_{j} |^{2}}, x = (x_{1}, \dots, x_{m}) \in K^{m}

$|x| := \sqrt{(x|x)} = \sqrt{\sum_{j=1}^m |x_j|^2}, \quad x=(x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m$

以实数作为例子，我们有时将内积 $(x|y)$ 写作 $x \cdot y$ 。

现在对向量空间 $\mathbb{K}^m$ 我们已经定义了两种范数，一种极大范数

| x |_{\infty} = max_{1 \leq j \leq m} | x_{j} |, x = (x_{1}, \dots, x_{m}) \in K^{m}

$|x|_{\infty} = \max_{1\le j \le m} |x_j|, \quad x=(x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m$

一种欧几里得范数 $|\cdot|$ ，我们还可以定义另一种范数

| x |_{1} := \sum_{j = 1}^{m} | x_{j} |, x = (x_{1}, \dots, x_{m}) \in K^{m}

$|x|_1 := \sum_{j=1}^m |x_j|, \quad x=(x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m$

下面的命题展现了 $\text{Cauchy-Schwarz}$ 不等式的进一步应用，用它说明了欧几里得范数与范数 $|\cdot|_1$ 与范数 $|\cdot|_{\infty}$ 是可比较的。

3.12 Proposition

令 $m \in \mathbb{N}^{\times}$ ，则有

| x |_{\infty} \leq | x | \leq \sqrt{m} | x |_{\infty}, \frac{1}{\sqrt{m}} | x |_{1} \leq | x | \leq | x |_{1}, x \in K^{m}

$|x|_{\infty} \le |x| \le \sqrt{m} |x|_{\infty}, \quad \frac{1}{\sqrt{m}} |x|_1 \le |x| \le |x|_1, \quad x \in \mathbb{K}^m$

证明：

证毕。

等价范数

令 $E$ 是一个线性空间， $E$ 上的两个范数 $\|\cdot\|_1$ 与 $\|\cdot\|_{\infty}$ 是等价的当且仅当存在 $K \le 1$ 使得

\begin{matrix} (3.9) & \frac{1}{K} ‖ x ‖_{1} \leq ‖ x ‖_{2} \leq K ‖ x ‖_{1}, x \in E \end{matrix}

$\frac{1}{K} \|x\|_1 \le \|x\|_2 \le K \|x\|_1, \quad x \in E \tag{3.9}$

将两个范数等价记作 $\|\cdot\|_1 \sim \|\cdot\|_2$ 。

3.13 Remarks

(a) 对于一个给定的线性空间，考虑其上的所有范数构成的集合中，不难证明 $\sim$ 对于该集合的元素是一个等价关系。

(b) Proposition 3.12 的一个等价描述是

| \cdot |_{1} \sim | \cdot | \sim | \cdot |_{\infty} on K^{m}

$|\cdot|_1 \sim |\cdot| \sim |\cdot|_{\infty} \quad \text{on} \quad \mathbb{K}^m$

(c) 为了对 Proposition 3.12 做更详细的介绍，我们将实欧几里得单位开球记作 $\mathbb{B}^m$ ，即

B^{m} := B_{R^{m}}

$\mathbb{B}^m := \mathbb{B}_{\mathbb{R}^m}$

类似地，记 $\mathbb{B}_1^m$ 与 $\mathbb{B}_{\infty}^m$ 分别是 $(\mathbb{R}^m,|\cdot|_1)$ 和 $(\mathbb{R}^m,|\cdot|_{\infty})$ 的单位开球。则 Proposition 3.12 可以等价表述为

B_{\infty}^{m} \subseteq B \subseteq \sqrt{m} B_{\infty}^{m}, B_{1}^{m} \subseteq B^{m} \subseteq \sqrt{m} B_{1}^{m}

$\mathbb{B}^m_{\infty} \subseteq \mathbb{B} \subseteq \sqrt{m} \, \mathbb{B}^m_{\infty}, \quad \mathbb{B}_1^m \subseteq \mathbb{B}^m \subseteq \sqrt{m} \, \mathbb{B}_1^m$

乘积空间上的收敛

由之前讨论的结果，对 $\mathbb{K}^m$ 上的收敛序列，我们现在有了一个简单，但非常有用的的描述。

3.14 Proposition

令 $m \in \mathbb{N}^{\times}$ ， $n \in \mathbb{N}$ ， $x_n = (x_n^1,\cdots,x_n^m) \in \mathbb{K}^m$ ，则以下描述是等价的：

(1) 序列 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 收敛到 $x=(x^1,\cdots,x^m) \in \mathbb{K}^m$ 。

(2) 对任一 $k \in \{1,\cdots,m\}$ ，序列 $(x_n^k)_{n \in \mathbb{N}}$ 收敛到 $x^k \in \mathbb{K}$ 。

证明：

证毕。

Proposition 3.14 中的第二点刻画经常被称为序列 $(x_n)$ 的分量收敛，因此 Proposition 3.14 可以被非严格地表述为： $\mathbb{K}^m$ 中的序列收敛当且仅当它的所有分量收敛。因此原则上说，研究 $\mathbb{K}$ 中的序列收敛已经足够了，事实上，根据 Remark 3.13(e)，研究 $\mathbb{R}$ 上的收敛就足够了。

posted on 2022-04-02 13:38 Black_x 阅读(1088) 评论(0) 编辑收藏举报

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数学 - 数学分析 - II.3 赋范线性空间

II.3 赋范线性空间

范数

3.1 Remarks

球

有界集

3.2 Remarks

例子

3.3 Examples

有界函数空间

3.4 Remarks

3.5 Proposition

3.6 Remarks

内积空间

3.7 Remarks

Cauchy-Schwarz 不等式

3.8 Theorem

3.9 Corollary

3.10 Theorem

3.11 Corollary

欧几里得空间

3.12 Proposition

等价范数

3.13 Remarks

乘积空间上的收敛

3.14 Proposition

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