数学 - 数学分析 - II.2 实数与复数序列

II.2 实数与复数序列

这一节我们推导计算数列收敛的最重要的一些规则。如果我们将这些序列视为向量空间 $s=s(\mathbb{K})=\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ 中的向量，这些规则表明了收敛序列形成了 $s$ 中的一个子序列。以实数作为例子，我们用 $\mathbb{R}$ 上的序结构来导出？？。

空序列

定义 序列

在 $\mathbb{K}$ 中的数列 $(x_n)$ 如果收敛到零，就称其为空序列。即是说，如果对任一个 $\varepsilon>0$，存在 $N \in \mathbb{N}$ 使得对所有 $n>N$，有 $|x_n| < \varepsilon$。$\mathbb{K}$ 中的所有空序列构成一个集合，记为 $c_0$，即是说，

$$c_0 := c_0(\mathbb{K}) := \{ (x_n) \in s \, ; \, (x_n) \, \text{收敛且} \lim x_n = 0\}$$

2.1 Remarks

令 $(x_n)$ 是 $\mathbb{K}$ 中的序列，且 $a \in \mathbb{K}$。

(a) $x_n$ 是空序列当且仅当其绝对值序列 $(|x_n|)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的空序列。

(b) $(x_n)$ 收敛到 $a$ 当且仅当变换序列 $(x_n - a)$ 是空序列。

(c) 如果存在一个实空序列 $(r_n)$ 使得对几乎所有 $n \in \mathbb{N}$ 有 $|x_n| \le r_n$，则 $(x_n)$ 是一个空序列。

主要规则

2.2 Proposition

令 $(x_n)$ 和 $(y_n)$ 是 $\mathbb{N}$ 中的收敛序列，且 $\lim x_n = a$ 且 $\lim y_n = b$，令 $\alpha \in \mathbb{K}$。

(1) 序列 $(x_n + y_n)$ 收敛且 $\lim (x_n + y_n)=a+b$。

(2) 序列 $(\alpha x_n)$ 收敛且 $\lim(\alpha x_n) = \alpha a$。

证明：令 $\varepsilon > 0$

证毕。

2.3 Remark

$\mathbb{K}$ 中的所有收敛序列构成一个集合，记为

$$c := c(\mathbb{K}) := \{ (x_n) \in s \, ; \, (x_n) \, \text{收敛}\}$$

显然 $c$ 是 $s$ 的线性子空间。收敛可视为一种函数关系，定义如下：

$$\begin{align*} \lim: c & \to \mathbb{K} \\ (x_n) & \mapsto \lim x_n \end{align*}$$

Proposition 2.2 可以用一种方式解释：上述函数关系是一个线性映射。显然 $\text{Ker}(\lim) = c_0$，由 Examples 1.12.3(c) 可知，$c_0$ 是 $c$ 的一个子空间。

2.4 Proposition

令 $(x_n)$ 与 $(y_n)$ 是 $\mathbb{K}$ 中的序列。

(1) 如果 $(x_n)$ 是一个空序列，$(y_n)$ 是一个有界序列，则 $(x_n y_n)$ 是一个空序列。

(2) 如果 $\lim x_n = a$ 且 $\lim y_n = b$，则 $\lim (x_n y_n) =ab$。

2.5 Remarks

(a) Proposition 2.4(1) 的假设条件“序列 $(y_n)$ 有界”不能去除。

证明：令 $x_n := 1/n$，$y_n := n^2$。显然 $(x_n)$ 是空序列但序列 $(x_n y_n)$ 并不收敛。证毕。

(b) 由 Examples 1.12.11(a) 我们知道 $s=s(\mathbb{K})=\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ 是一个代数。

2.6 Proposition

令 $(x_n)$ 是 $\mathbb{K}$ 中的收敛序列，且收敛点 $a\in \mathbb{K}^{\times}$，则 $(x_n)$ 中几乎所有的元素是非零元，且 $1/x_n \to 1/a$。

证明：

证毕。

比较测试？？

我们接下来研究实数收敛数列之间的关系，还研究 $\mathbb{R}$ 上的序结构。

2.7 Proposition

令 $(x_n)$ 和 $(y_n)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的收敛序列，如果对无穷多 $n \in \mathbb{N}$ 满足 $x_n \le y_n$，则有

$$\lim x_n \le \lim y_n$$

证明：

证毕。

2.8 Remark

Proposition 2.7 不能对严格小于符号的不等式成立，即是说，对无穷多 $n \in \mathbb{N}$ 有 $x_n < y_n$ 不能推出 $\lim x_n < \lim y_n$。

证明：取 $x_n := -1/n$ 和 $y_n := 1/n$，显然对所有 $n \in \mathbb{N}$ 有 $x_n < y_n$，但 $\lim x_n = \lim y_n = 0$。

2.9 Proposition

设 $(x_n)$，$(y_n)$，$(z_n)$ 是实数序列，且对几乎所有 $n \in \mathbb{N}$ 有性质 $x_n \le y_n \le z_n$。若 $\lim x_n = \lim z_n = a$，则 $y_n$ 也收敛到 $a$。

证明：

证毕。

复数序列

如果 $(x_n)$ 是一个 $\mathbb{R}$ 中的收敛序列，且 $\lim x_n = a$，那么 $\lim |x_n|=|a|$。事实上，如果 $(x_n)$ 是空序列，则该命题就是 Example 2.1(a)。如果 $a > 0$，则 $(x_n)$ 中几乎所有元素都为正数，因此有

$$\lim |x_n| = \lim x_n = a = |a|$$

如果 $a<0$，则 $(x_n)$ 中几乎所有元素都为复数，因此有

$$\lim |x_n| = \lim (-x_n) = - \lim x_n = -a = |a|$$

下一条定理对更一般的情况进行了说明。

2.10 Proposition

如果 $(x_n)$ 是一个 $\mathbb{K}$ 中的收敛序列，且 $\lim x_n = a$，则序列 $(|x_n|)$ 收敛，且 $\lim |x_n| = |a|$。

证明：

证毕。

一个 $\mathbb{C}$ 中的收敛序列能被分解为实部的收敛和虚部的收敛。

2.11 Proposition

对一个 $\mathbb{C}$ 中的序列来说，以下描述是等价的：

(1) 序列 $(x_n)$ 收敛。

(2) 序列 $(\text{Re} (x_n))$ 和序列 $(\text{Im} (x_n))$ 收敛。

证明：

证毕。