数学 - 数学分析 - II.2 实数与复数序列

II.2 实数与复数序列

这一节我们推导计算数列收敛的最重要的一些规则。如果我们将这些序列视为向量空间 \(s=s(\mathbb{K})=\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\) 中的向量，这些规则表明了收敛序列形成了 \(s\) 中的一个子序列。以实数作为例子，我们用 \(\mathbb{R}\) 上的序结构来导出？？。

空序列

定义 序列

在 \(\mathbb{K}\) 中的数列 \((x_n)\) 如果收敛到零，就称其为空序列。即是说，如果对任一个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N \in \mathbb{N}\) 使得对所有 \(n>N\)，有 \(|x_n| < \varepsilon\)。\(\mathbb{K}\) 中的所有空序列构成一个集合，记为 \(c_0\)，即是说，

\[c_0 := c_0(\mathbb{K}) := \{ (x_n) \in s \, ; \, (x_n) \, \text{收敛且} \lim x_n = 0\} \]

2.1 Remarks

令 \((x_n)\) 是 \(\mathbb{K}\) 中的序列，且 \(a \in \mathbb{K}\)。

(a) \(x_n\) 是空序列当且仅当其绝对值序列 \((|x_n|)\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的空序列。

(b) \((x_n)\) 收敛到 \(a\) 当且仅当变换序列 \((x_n - a)\) 是空序列。

(c) 如果存在一个实空序列 \((r_n)\) 使得对几乎所有 \(n \in \mathbb{N}\) 有 \(|x_n| \le r_n\)，则 \((x_n)\) 是一个空序列。

主要规则

2.2 Proposition

令 \((x_n)\) 和 \((y_n)\) 是 \(\mathbb{N}\) 中的收敛序列，且 \(\lim x_n = a\) 且 \(\lim y_n = b\)，令 \(\alpha \in \mathbb{K}\)。

(1) 序列 \((x_n + y_n)\) 收敛且 \(\lim (x_n + y_n)=a+b\)。

(2) 序列 \((\alpha x_n)\) 收敛且 \(\lim(\alpha x_n) = \alpha a\)。

证明：令 \(\varepsilon > 0\)

证毕。

2.3 Remark

\(\mathbb{K}\) 中的所有收敛序列构成一个集合，记为

\[c := c(\mathbb{K}) := \{ (x_n) \in s \, ; \, (x_n) \, \text{收敛}\} \]

显然 \(c\) 是 \(s\) 的线性子空间。收敛可视为一种函数关系，定义如下：

\[\begin{align*} \lim: c & \to \mathbb{K} \\ (x_n) & \mapsto \lim x_n \end{align*} \]

Proposition 2.2 可以用一种方式解释：上述函数关系是一个线性映射。显然 \(\text{Ker}(\lim) = c_0\)，由 Examples 1.12.3(c) 可知，\(c_0\) 是 \(c\) 的一个子空间。

2.4 Proposition

令 \((x_n)\) 与 \((y_n)\) 是 \(\mathbb{K}\) 中的序列。

(1) 如果 \((x_n)\) 是一个空序列，\((y_n)\) 是一个有界序列，则 \((x_n y_n)\) 是一个空序列。

(2) 如果 \(\lim x_n = a\) 且 \(\lim y_n = b\)，则 \(\lim (x_n y_n) =ab\)。

2.5 Remarks

(a) Proposition 2.4(1) 的假设条件“序列 \((y_n)\) 有界”不能去除。

证明：令 \(x_n := 1/n\)，\(y_n := n^2\)。显然 \((x_n)\) 是空序列但序列 \((x_n y_n)\) 并不收敛。证毕。

(b) 由 Examples 1.12.11(a) 我们知道 \(s=s(\mathbb{K})=\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\) 是一个代数。

2.6 Proposition

令 \((x_n)\) 是 \(\mathbb{K}\) 中的收敛序列，且收敛点 \(a\in \mathbb{K}^{\times}\)，则 \((x_n)\) 中几乎所有的元素是非零元，且 \(1/x_n \to 1/a\)。

证明：

证毕。

比较测试？？

我们接下来研究实数收敛数列之间的关系，还研究 \(\mathbb{R}\) 上的序结构。

2.7 Proposition

令 \((x_n)\) 和 \((y_n)\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的收敛序列，如果对无穷多 \(n \in \mathbb{N}\) 满足 \(x_n \le y_n\)，则有

\[\lim x_n \le \lim y_n \]

证明：

证毕。

2.8 Remark

Proposition 2.7 不能对严格小于符号的不等式成立，即是说，对无穷多 \(n \in \mathbb{N}\) 有 \(x_n < y_n\) 不能推出 \(\lim x_n < \lim y_n\)。

证明：取 \(x_n := -1/n\) 和 \(y_n := 1/n\)，显然对所有 \(n \in \mathbb{N}\) 有 \(x_n < y_n\)，但 \(\lim x_n = \lim y_n = 0\)。

2.9 Proposition

设 \((x_n)\)，\((y_n)\)，\((z_n)\) 是实数序列，且对几乎所有 \(n \in \mathbb{N}\) 有性质 \(x_n \le y_n \le z_n\)。若 \(\lim x_n = \lim z_n = a\)，则 \(y_n\) 也收敛到 \(a\)。

证明：

证毕。

复数序列

如果 \((x_n)\) 是一个 \(\mathbb{R}\) 中的收敛序列，且 \(\lim x_n = a\)，那么 \(\lim |x_n|=|a|\)。事实上，如果 \((x_n)\) 是空序列，则该命题就是 Example 2.1(a)。如果 \(a > 0\)，则 \((x_n)\) 中几乎所有元素都为正数，因此有

\[\lim |x_n| = \lim x_n = a = |a| \]

如果 \(a<0\)，则 \((x_n)\) 中几乎所有元素都为复数，因此有

\[\lim |x_n| = \lim (-x_n) = - \lim x_n = -a = |a| \]

下一条定理对更一般的情况进行了说明。

2.10 Proposition

如果 \((x_n)\) 是一个 \(\mathbb{K}\) 中的收敛序列，且 \(\lim x_n = a\)，则序列 \((|x_n|)\) 收敛，且 \(\lim |x_n| = |a|\)。

证明：

证毕。

一个 \(\mathbb{C}\) 中的收敛序列能被分解为实部的收敛和虚部的收敛。

2.11 Proposition

对一个 \(\mathbb{C}\) 中的序列来说，以下描述是等价的：

(1) 序列 \((x_n)\) 收敛。

(2) 序列 \((\text{Re} (x_n))\) 和序列 \((\text{Im} (x_n))\) 收敛。

证明：

证毕。