数学 - 数学分析 - II.1 序列的收敛

II.1 序列的收敛

这一节我们考虑一个函数，该函数定义于自然数，并对应取一个可数数。对于这样一个函数 $\varphi: \mathbb{N} \to X$，我们将着重考虑函数 $\varphi(n)$ 在 $n \to \infty$ 时函数值的行为。由于我们只能有限次计算函数 $\varphi$ 的函数值，因此我们不能真正地达到“无穷”，这使得我们必须用一种新的方法来研究关于“无穷”的命题。这样的方法形成了收敛序列理论，也就是下面将要介绍的。

序列

定义 序列

令 $X$ 是一个集合，一个在集合 $X$ 中的序列就是一个从 $\mathbb{N}$ 到集合 $X$ 的映射。如果 $\varphi:\mathbb{N} \to X$ 是一个序列，我们也可以如下写该序列

$$(x_n)\quad \text{or} \quad (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \quad \text{or} \quad (x_0,x_1,x_2,\cdots)$$

其中，$x_n := \varphi(n)$ 是序列 $\varphi$ 的第 $n$ 个元素。

在 $\mathbb{K}$ 中的序列称为数列，在 $\mathbb{K}$ 中的所有数列构成集合 $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$，而集合 $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ 是一个向量空间（见例子 $1.12.3(e)$），我们也令该集合为 $s(\mathbb{K})$。举例，当 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 时，$(x_n)$ 一个实数序列。

1.1 Remarks

(a) 注意区分一个序列 $(x_n)$ 和它的像集 $\{x_n ; n \in \mathbb{N}\}$。

(b) 令 $(x_n)$ 是一个 $X$ 上的序列，$E$ 是一个性质。我们说，对几乎所有 $(x_n)$ 中的元素都具有性质 $E$。意思是，存在一个 $m \in \mathbb{N}$ 使得对所有的 $n \geqslant m$ 都有 $E(x_n)$ 成立。当然，对 $n < m$ 来说，$E(x_n)$ 可以正确，也可以不正确。

如果存在一个子集 $N \subseteq \mathbb{N}$，$\text{Num} (N) = \infty$，并且对任一个 $n \in \mathbb{N}$ 有 $E(x_n)$ 成立。那么称 $(x_n)$ 中有无穷多个元素具有性质 $E$。

(c) 对于 $m \in \mathbb{N}^{\times}$，函数 $\psi:m+\mathbb{N} \to X$ 也可以被称为 $X$ 上的序列。也即是说，$(x_j)_{j\geqslant m} = (x_m, x_{m+1},\cdots)$ 也是一个 $X$ 上的序列，即使该序列的下标并没有从 $0$ 开始。

我们应该认识到距离的概念在收敛概念中的中心地位。在数域 $\mathbb{K}$ 中，我们能够借助绝对值函数来决定两点之间的距离，为了探究在一个抽象集合 $X$ 上的序列的收敛，我们需要赋予集合 $X$ 特殊的拓扑结构，以使得集合 $X$ 中任两个被决定的元素之间存在距离。

度量空间

给出度量空间的定义。

定义 度量空间

令 $X$ 是一个集合，映射 $d: X \times X \to R^+$ 如果满足以下性质，就被称为集合 $X$ 上的一个度量。

• $d(x,y)=0 \iff x = y$ （正定性）

• $d(x,y) = d(y,x), \, \, x,y \in X$（对称性）

• $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y), \, \, x,y,z \in X$（三角不等式）

如果 $d$ 是集合 $X$ 上的一个度量，就称 $(X,d)$ 是一个度量空间，然后我们称 $d(x,y)$ 是度量空间 $X$ 中点 $x$ 与点 $y$ 之间的距离。

在度量空间 $(X,d)$ 中，对 $a \in X$ 和 $r > 0$，定义中心为 $a$，半径为 $r$ 的开球：

$$\mathbb{B}(a,r) = \mathbb{B}_X (a,r) := \{ x \in X \, ; \, d(a,x) < r\}$$

在度量空间 $(X,d)$ 中，对 $a \in X$ 和 $r > 0$，定义中心为 $a$，半径为 $r$ 的闭球：

$$\overline{\mathbb{B}}(a,r) = \overline{\mathbb{B}}_X (a,r) := \{ x \in X \, ; \, d(a,x) \le r\}$$

1.2 Examples

(a) $\mathbb{K}$ 是一个度量空间，定义的度量就是一般的距离

$$\mathbb{K} \times \mathbb{K} \to \mathbb{R}^+, \quad (x,y) \mapsto |x-y|$$

(b) $(X,d)$ 是一个度量空间，$Y$ 是 $X$ 的一个非空子集，然后有度量 $d$ 在 $Y \times Y$ 上的限制映射 $d_Y := d \, | \,Y \times Y$，可以证明限制映射 $d_Y$ 是 $Y$ 上的一个度量，将其称为诱导度量。$(Y,d_Y)$ 是一个度量空间，被称为 $X$ 的度量子空间。

(c) 任何一个 $\mathbb{C}$ 的非空子集都是一个度量空间，该度量空间的度量为从 $\mathbb{C}$ 中的自然度量得到的诱导度量。

(d) $X$ 是一个非空集合，定义映射 $d$ 满足 $d(x,y) := 1, \, x \neq y$ 和 $d(x,x)=0$，可以证明该映射为一个度量，将其称为 $X$ 的离散度量。

(e) $(X_j, d_j), \, 1 \le j \le m$ 是度量空间。定义

$$X := X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_m$$

$$d(\bm{x},\bm{y}) := \max_{1 \le j \le m} d_j (x_j,y_j), \quad \forall \bm{x} = \{x_1, \cdots , x_m\} \in X, \quad \forall \bm{y} \in X$$

可以证明 $d$ 是一个 $X$ 上的度量，将其称为乘积度量，并且称度量空间 $(X,d)$ 称为度量空间 $(X_j, d_j)$ 的乘积。给出乘积度量空间的一个例子：

$$\mathbb{B}_X (a,r) = \prod_{i=1}^m \mathbb{B}_{X_j} (a_j,r), \quad \overline{\mathbb{B}}_X (a,r) = \prod_{i=1}^m \overline{\mathbb{B}}_{X_j} (a_j,r)$$

上式对所有的 $a:= (a_1,\cdots,a_m) \in X$ 和 $r > 0$ 成立。

1.3 Proposition

$(X,d)$ 是一个度量空间，有下式成立：

$$d(x,y) \ge |d(x,z) - d(z,y)|, \quad \forall x,y,z \in X$$

证明：由三角不等式 $d(x,y) - d(z,y) \le d(x,z)$，交换 $z$ 和 $y$ 得到

$$d(x,z) - d(y,z) \le d(x,y)$$

对上式再交换 $x$ 和 $y$ 得到

$$d(y,z) - d(x,z) \le d(y,x)$$

证毕。

度量空间 $X$ 的子集 $U$ 被称为点 $a \in X$ 的邻域，如果存在 $r > 0$ 使得 $\mathbb{B}(a,r) \subseteq U$。点 $a$ 的所有邻域构成的集合记作 $\mathcal{U}$，即有

$$\mathcal{U} (a) := \mathcal{U}_X (a) := \{U \subseteq X \, ; \, U \, \text{是} \, a \, \text{的邻域}\} \subseteq \mathcal{P} (X)$$

1.4 Examples

$X$ 是一个度量空间，$a \in X$。

(a) 对任一 $\varepsilon > 0$，$\mathbb{B} (a, \varepsilon)$ 和 $\overline{\mathbb{B}} (a, \varepsilon)$ 是点 $a$ 的邻域，我们分别称为点 $a$ 的开 $\varepsilon-$邻域 和 闭 $\varepsilon-$邻域。

(b) 显然 $X \in \mathcal{U} (a)$。且若 $U_1,U_2 \in \mathcal{U} (a)$，那么 $U_1 \cap U_2$ 和 $U_1 \cup U_2$ 也属于 $\mathcal{U} (a)$。对任一个 $U \subseteq X$，若它包含点 $a$ 的一个邻域，则 $U$ 属于 $\mathcal{U} (a)$。

(c) 令 $X:= [0,1]$，并赋予 $\mathbb{R}$ 上的度量。则 $[1/2,1]$ 是点 $1$ 的邻域，但不是点 $1/2$ 的邻域。

在接下来的部分，$X := (X, d)$ 是一个度量空间，$(x_n)$ 是 $X$ 中的一个序列。

聚点

定义 聚点

如果点 $a \in X$ 的任一个邻域都包含有序列 $(x_n)$ 中无穷多个元素，则称点 $a$ 是序列 $(x_n)$ 的一个聚点。

我们给出关于聚点的几点等价刻画。

1.5 Proposition

以下几点是等价的：

(1) $a$ 是序列 $(x_n)$ 的聚点。

(2) 对任意 $U \in \mathcal{U}(a)$ 和 $m \in \mathbb{N}$，存在 $n \ge m$ 使得 $x_n \in U$。

(3) 对任意 $\varepsilon > 0$ 和 $m \in \mathbb{N}$，存在 $n \ge m$ 使得 $x_n \in \mathbb{B} (a,\varepsilon)$。

1.6 Examples

(a) 实数数列 $((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}$ 有两个聚点，分别是 $1$ 和 $-1$。

(b) 复数序列 $((i)^n)_{n \in \mathbb{N}}$ 有四个聚点，分别是 $\pm 1$ 和 $\pm i$。

(c) 常数序列 $(x,x,\cdots)$ 存在唯一的聚点 $x$。

(d) 自然数序列 $(n)_{n \in \mathbb{N}}$ 没有聚点。

(e) 令 $\varphi$ 是 $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{Q}$ 的一个双射（由 $1.9.4$ 可知这样的映射是存在的），定义序列 $(x_n)$ 为 $x_n := \varphi(n)$。则全体实数都是序列 $(x_n)$ 的聚点。

证明：假设存在 $a \in \mathbb{R}$ 不是序列 $(x_n)$ 的聚点，然后由 $2.1.5$ 聚点的等价刻画知，存在 $\varepsilon > 0$ 和 $m \in \mathbb{N}$ 使得

$$x_n \notin \mathbb{B} (a,\varepsilon) = (a-\varepsilon, a+\varepsilon), \quad \forall n \ge m$$

即是说，区间 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 仅包含了有限多个有理数，与 $1.10.8$ 矛盾。

证毕。

收敛

定义 收敛

如果点 $a$ 的任一邻域都包含了序列 $(x_n)$ 中几乎所有的元素，则称序列 $(x_n)$ 收敛，且收敛点为 $a$（或极限为 $a$）。记为

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{or} \quad x_n \to a \, (n \to \infty)$$

按上式的写法有时也称，当 $n$ 趋于无穷时，序列 $x_n$ 收敛到 $a$。若一个序列 $(x_n)$ 不收敛，则称该序列发散。

1.7 Proposition

下面命题是等价的：

(1) $\lim x_n = a$。

(2) 任一 $U \in \mathcal{U}(a)$，存在 $N := N(U)$ 使得对所有 $n \ge N$ 有 $x_n \in U$。

(3) 任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N := N(\varepsilon)$ 使得对所有 $n \ge N$ 有 $x_n \in \mathbb{B} (a,\varepsilon)$。

下面给出一些简单的例子。

1.8 Examples

(a) 对于实数序列 $(1/n)_{n \in \mathbb{N}^{\times}}$，我们有 $\lim (1/n) = 0$。

(b) 定义复数序列 $(z_n)$ 为

$$z_n := \frac{n+2}{n+1} + i \frac{2n}{n+2}$$

我们可以得到 $\lim z_n = 1+2i$。

证明：任给一个 $\varepsilon > 0$，由 $1.10.7$ 可知，存在一个 $N \in \mathbb{N}$ 使得 $1/N < \varepsilon / 8$。然后对所有的 $n \ge N$，有

$$\frac{n+2}{n+1} - 1 = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{8} < \frac{\varepsilon}{2}, \quad 2 - \frac{2n}{n+2} = \frac{4}{n+2} < \frac{4}{N} < \frac{\varepsilon}{2}$$

得到

$$|z_n - (1+2i)|^2 = \left| \frac{n+2}{n+1} - 1 \right|^2 + \left|\frac{2n}{n+2} - 2 \right|^2 < \frac{\varepsilon^2}{4} + \frac{\varepsilon^2}{4} < \varepsilon, \quad \forall \, n \ge N$$

证毕。

(c) 常数序列 $(a,a,\cdots)$ 收敛到 $a$。

(d) 实数序列 $((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}$ 发散。

(e) 令 $X$ 是度量空间 $(X_j, d_j), 1\le j \le m$ 的乘积。然后序列 $(x_n) = \left( (x_n^1, x_n^2, \cdots, x_n^m)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 在度量空间 $X$ 中收敛到点 $a:=(a^1, \cdots, a^m)$ 当且仅当对每一个 $j \in \{1,\cdots,m\}$，序列 $(x_n^j)_{n \in \mathbb{N}}$ 在度量空间 $X_j$ 中收敛到点 $a^j \in X_j$。

证明：由 $2.1.2$ 可以得到，对任意 $\varepsilon > 0$，几乎所有 $x_n$ 都属于 $\mathbb{B}_X (a, \varepsilon) = \prod_{j=1}^m \mathbb{B}_{X_j} (a^j, \varepsilon)$，当且仅当，对每一个 $j=1,\cdots,m$，几乎所有 $x_n^j$ 都属于 $\mathbb{B}_{X_j} (a^j, \varepsilon)$。

证毕。

有界集

定义 有界集

集合 $Y \subseteq X$ 被称为 $d-$有界或是在 $X$ 中以度量 $d$ 有界，是说存在 $M > 0$ 有

$$d(x,y) < M, \quad \forall x, y \in Y$$

我们可以定义 $Y$ 的直径

$$diam(Y) := \sup_{x,y \in Y} d(x,y)$$

显然 $Y$ 有界时，$Y$ 的直径是一个有限数。序列 $(x_n)$ 有界是指它的像 $\{x_n\, ; \, n \in \mathbb{N}\}$ 有界。

1.9 Examples

(a) 对所有的 $a \in X$ 和 $r > 0$，$\mathbb{B} (a,r)$ 和 $\overline{\mathbb{B}} (a,r)$ 在 $X$ 中有界。

(b) 任一个有界集的子集是有界的，有限个有界集的并集是有界的。

(c) 度量空间 $X$ 的子集 $Y$ 在 $X$ 有界当且仅当存在 $x_0 \in X$ 和 $r > 0$ 使得 $Y \subseteq \mathbb{B}_X (x_0, r)$。如果 $Y \neq \emptyset$ 可以进一步加强命题为存在 $x_0 \in Y$。

(d) 有界区间是有界的。

(e) $\mathbb{K}$ 中的子集 $Y$ 是有界的，当且仅当，存在 $M > 0$ 使得对所有的$y \in Y$ 有 $|y| < M$。

1.10 Proposition

任一个收敛序列必定有界。

证明：假设 $x_n \to a$，由收敛的定义知，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $N \in \mathbb{N}$，使得对所有的 $n \ge N$ 有 $x_n \in \mathbb{B}(a, 1)$。由三角不等式可以得

$$d(x_n, x_m) \le d(x_n, a) + d(a, x_m) \le 2, \quad m, n \ge N$$

又因为存在 $M \ge 0$ 使得

$$d(x_j, x_k) \le M, \quad j, k \le N$$

综上可以得到对所有 $n,m \in \mathbb{N}$ 有 $d(x_n, x_m) \le M+2$。

证毕。

极限的唯一性

1.11 Proposition

令 $(x_n)$ 收敛到点 $a$，则 $a$ 是序列 $(x_n)$ 的唯一一个聚点。

证明：显然 $a$ 是序列 $(x_n)$ 的一个聚点。为了证明唯一性，假设存在 $b \neq a$，且 $b$ 是 $X$ 中的某个点

证毕。

1.12 Remark

1.11 Proposition 的逆命题是错误的，即是说，存在一个发散的序列，它有且仅有一个聚点。例如

$$\left( \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, 3, \cdots \right)$$

1.13 Corollary

收敛序列的极限点唯一。

作为 Proposition 1.11 的推论，我们可直接证得。

子序列

定义 子序列

令 $\varphi = (x_n)$ 是一个在 $X$ 中的序列，并且 $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 是一个严格递增函数，然后我们将 $\varphi \circ \psi \in X^{\mathbb{N}}$ 称为 $\varphi$ 的子序列。根据我们之前对序列 $\varphi$ 的介绍，我们拓展记号 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$，将子序列 $\varphi \circ \psi$ 写做 $(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$，其中 $n_k = \psi(k)$。由于 $\psi$ 严格递增，因此我们有 $n_0 < n_1 < n_2 < \cdots$。

1.14 Examples

序列 $\left( (-1)^n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 有两个常数子序列，分别是

$$\left( (-1)^{2k}\right)_{k \in \mathbb{N}} = (1,1,\cdots), \quad \left( (-1)^{2k+1}\right)_{k \in \mathbb{N}} = (-1, -1, \cdots)$$

1.15 Proposition

如果序列 $(x_n)$ 收敛且极限为 $a$，则每一个 $(x_n)$ 的子序列 $(x_{n_k})$ 也收敛，且有

$$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = a$$

证明：

证毕。

1.16 Examples

对 $m \ge 2$，有

$$\frac{1}{k^m} \to 0 \, (k \to \infty) \quad \text{and} \quad \frac{1}{m^k} \to 0 \, (k \to \infty)$$

证明：

证毕。

1.17 Proposition

点 $a$ 是序列 $(x_n)$ 的聚点当且仅当存在一个 $(x_n)$ 的子序列 $(x_{n_k})$ 收敛到点 $a$。

证明：

证毕。